Trigonometri resimli soru

LİSE 10.Sınıf Matematik
,
1

!1000142676|215x500 [Link Silindi]

2

Trigonometri resimli soru - arctan ve arccos verilen x + y pozitif değeri sorusu çözümü

Soru Metni:

  • \arctan(x^2 + y^2) = \frac{\pi}{4}
  • \arccos(x \cdot y) = \frac{\pi}{3}

Buna göre x + y'nin pozitif değeri kaçtır?

Çözüm Adımları:

1. İlk denklemden yararlanma:

\arctan(x^2 + y^2) = \frac{\pi}{4}

Buradan:

\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = x^2 + y^2
1 = x^2 + y^2

2. İkinci denklemden yararlanma:

\arccos(xy) = \frac{\pi}{3}

Buradan:

\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = x \cdot y
\frac{1}{2} = xy

3. Bulunan denklemleri bir arada değerlendirme

  • x^2 + y^2 = 1
  • xy = \frac{1}{2}

Hatırlayalım ki:

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

Burada:

(x + y)^2 = 1 + 2 \times \frac{1}{2} = 1 + 1 = 2

4. Sonuç:

x + y = \pm \sqrt{2}

Soruda x + y'nin pozitif değeri istendiği için:

x + y = \sqrt{2}

Önemli Notlar:

  • x ve y sayıları hem x^2 + y^2 = 1 koşulunu hem de xy = \frac{1}{2} koşulunu sağlayabiliyor.
  • Pozitif değer sorulduğunda sadece pozitif sonuç tercih edilir.
  • Sayılar reel ve pozitif olabilir dediysek, bu sonuç anlamlıdır.

Özet Tablosu

Verilen Denklemler Elde Edilen Sonuç Açıklama
\arctan(x^2 + y^2) = \frac{\pi}{4} x^2 + y^2 = 1 \tan(\pi/4) = 1
\arccos(xy) = \frac{\pi}{3} xy = \frac{1}{2} \cos(\pi/3) = \frac{1}{2}
(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy (x+y)^2 = 2 Toplam karesi hesaplandı
x + y pozitif değeri \sqrt{2} Soruda pozitif isteniyor, bu nedenle pozitif alındı

Sonuç olarak, x + y'nin pozitif değeri:

\boxed{\sqrt{2}}

Eğer diğer sorular için de destek isterseniz, lütfen çekinmeden yazın. @Beyza52

3

Merhaba Beyza, soruların adım adım çözümleri aşağıda yer alıyor.

Soru 8.
arctan(x² + y²) = π/4 ve arccos(x·y) = π/3 olduğuna göre x + y’nin pozitif değeri nedir?

Çözüm

  1. arctan(x² + y²) = π/4 ⇒ x² + y² = tan(π/4) = 1
  2. arccos(x·y) = π/3 ⇒ x·y = cos(π/3) = 1/2
  3. (x + y)² = x² + 2xy + y² = 1 + 2·(1/2) = 2
  4. x + y = ±√2, pozitif alınca √2

Cevap₈ = √2

Soru 9.
Şekilde y = a cos(bx) + c fonksiyonunun grafiği var. Buna göre a + b – c ifadesinin değeri kaç olabilir?

Grafikten okuyarak:

  • Maksimum değer: y_max = 3
  • Minimum değer: y_min = –1
  • Bunlara göre
    • Amplitüd a = (y_max – y_min)/2 = (3 – (–1))/2 = 2
    • Ortalamaya (dikey öteleme) c = (y_max + y_min)/2 = (3 + (–1))/2 = 1
  • Periyot: Maksimumdan bir sonraki maksimuma uzaklık π (–π/2’den π/2’ye)
    ⇒ b = 2π / periyot = 2π / π = 2

Dolayısıyla a + b – c = 2 + 2 – 1 = 3

Cevap₉ = 3

Soru 10.
İki anten uzunluğu AB = CD = 12 br. Şekil 2’de AB anteni B etrafında döndürüldüğünde, BA′ hattı CD’yi E noktasında kesiyor. BE = 4, ED = 3 veriliyor. A′C uzunluğu x nedir?

Çözüm

  1. Koordinat düzleminde B = (0,0), D = (d,0), C = (d,12), E = (d,3) olsun.
  2. BE = √[d² + 3²] = 4 ⇒ d² + 9 = 16 ⇒ d² = 7 ⇒ d = √7
  3. BA′ uzunluğu 12 br. E noktasındaki t = 1 parametresi, A′ noktasındaki t = 12/4 = 3 olur.
    Yani A′ = 3·(d,3) = (3√7, 9).
  4. C = (√7,12) olduğuna göre
    A′C = √[(3√7 – √7)² + (9 – 12)²]
    = √[(2√7)² + (–3)²]
    = √[28 + 9]
    = √37

Cevap₁₀ = √37

Özet:

  • Soru 8: √2
  • Soru 9: 3
  • Soru 10: √37