Trigonometri Problemi Çözümü: Verilen İfade Kaça Eşittir?

YKS TYT
1

image
image414×267 12.5 KB

2

Soru: Aşağıdaki ifade kaçtır?

[
\frac{\cos40°\cdot \sin20° ;-;\sin40°\cdot \cos20°}{-\cos130°\cdot \cos20° ;-;\sin130°\cdot \sin20°}
]

Ana Başlıca Noktalar

  • Sinüs fark kimliği: \sin A\cos B - \cos A\sin B = \sin(A - B)
  • Kosinüs fark kimliği: \cos A\cos B + \sin A\sin B = \cos(A - B)
  • Negatif açı: \sin(-\theta) = -\sin\theta

Direkt Yanıt

İfade \displaystyle -1 değerini alır.

İçindekiler

  1. İşlemlerin Detaylı Çözümü
  2. Kıyaslama Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. İşlemlerin Detaylı Çözümü

  1. Numeratör
    [
    \cos40°\sin20° - \sin40°\cos20°
    = \sin(20° - 40°)
    = \sin(-20°)
    = -\sin20°
    ]
  2. Payda
    [
    -\bigl(\cos130°\cos20° + \sin130°\sin20°\bigr)
    = -\cos(130° - 20°)
    = -\cos110°
    = -\bigl(-\cos70°\bigr)
    = \cos70°
    ]
  3. Bölme
    [
    \frac{-\sin20°}{\cos70°}
    = \frac{-\sin20°}{\sin20°}
    = -1
    ]

2. Kıyaslama Tablosu

Özellik Sinüs Fark Kimliği Kosinüs Fark Kimliği
Formül \sin A\cos B - \cos A\sin B = \sin(A-B) \cos A\cos B + \sin A\sin B = \cos(A-B)
Örnek Uygulama \cos40°\sin20°-\sin40°\cos20°=\sin(-20°)=-\sin20° \cos130°\cos20°+\sin130°\sin20°=\cos110°=-\cos70°

3. Özet Tablosu

Adım İfade Sonuç
Numeratör \cos40°\sin20° - \sin40°\cos20° -\sin20°
Payda -\bigl(\cos130°\cos20° + \sin130°\sin20°\bigr) \cos70°
Bölme \displaystyle \frac{-\sin20°}{\cos70°} -1

4. SSS

S1. Sinüs fark kimliği nedir?
C1. \sin A\cos B - \cos A\sin B = \sin(A - B).

S2. Kosinüs fark kimliği nasıl elde edilir?
C2. \cos A\cos B + \sin A\sin B = \cos(A - B).

S3. Neden \sin(-\theta)=-\sin\theta?
C3. Sinüs fonksiyonu tek fonksiyon olduğu için f(-x)=-f(x).

S4. Başka hangi açılarla benzer bir problem kurulabilir?
C4. Örneğin \cos50°\sin30°-\sin50°\cos30° ifadesi \sin(-20°) sonucunu verir.

Başka açı çiftleriyle bu yöntemi deneyerek pratik yapmak ister misiniz?
@Abdurrahman2134

3

Trigonometri Problemi Çözümü: Verilen İfade Kaça Eşittir?

Önemli Noktalar

  • İfade trigonometrik toplam ve fark formülleri kullanılarak sadeleştirilebilir.
  • Sinüs ve kosinüs fark formülleri temel anahtar.
  • Soruda verilen açı değerleri özel açılar olup, bunların trigonometrik değerleri standart tablodan alınabilir.

Verilen ifade şu şekildedir:

\frac{\cos 40^\circ \sin 20^\circ - \sin 40^\circ \cos 20^\circ}{-\cos 130^\circ \cos 20^\circ - \sin 130^\circ \sin 20^\circ}

Adım Adım Çözüm

1. Pay kısmı sadeleştirme

Paydaki ifade sinüs toplam-fark formülünden türetilebilir:

\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

Burada,

\cos 40^\circ \sin 20^\circ - \sin 40^\circ \cos 20^\circ = -(\sin 40^\circ \cos 20^\circ - \cos 40^\circ \sin 20^\circ) = -\sin(40^\circ - 20^\circ) = -\sin 20^\circ

Doğru kullanım için dikkat edelim. Doğru formül şöyle:

\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

Payda böyle yazılmış, ancak ifadede terimler sıralı değil, dikkat gerekir.

Verilen payda:

\cos 40^\circ \sin 20^\circ - \sin 40^\circ \cos 20^\circ = -(\sin 40^\circ \cos 20^\circ - \cos 40^\circ \sin 20^\circ) = -\sin(40^\circ - 20^\circ) = -\sin 20^\circ

Ama yukardaki işlem karışıklık yaratabilir; daha net ifade edelim:

Orjinal pay:

\cos 40^\circ \sin 20^\circ - \sin 40^\circ \cos 20^\circ

Bunu yeniden yazalım:

-(\sin 40^\circ \cos 20^\circ - \cos 40^\circ \sin 20^\circ) = -\sin(40^\circ - 20^\circ) = -\sin 20^\circ

Öyleyse:

\text{Pay} = -\sin 20^\circ

2. Payda kısmı sadeleştirme

Payda:

-\cos 130^\circ \cos 20^\circ - \sin 130^\circ \sin 20^\circ

Bu da aşağıdaki formüle benziyor:

\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

Buradaki işarete dikkat edelim; ifadenin tamamı:

-(\cos 130^\circ \cos 20^\circ + \sin 130^\circ \sin 20^\circ) = -\cos(130^\circ - (-20^\circ)) = -\cos(130^\circ - (-20^\circ))

Ama toplama işlemi varmış gibi gözüken:

\cos a \cos b + \sin a \sin b = \cos(a - b)

Yani,

\cos 130^\circ \cos 20^\circ + \sin 130^\circ \sin 20^\circ = \cos(130^\circ - 20^\circ) = \cos 110^\circ

Sonuç:

\text{Payda} = -\cos 110^\circ

3. İfadeyi tekrar yazalım:

\frac{-\sin 20^\circ}{-\cos 110^\circ} = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 110^\circ}

4. Trigonometrik değer ve işaret kontrolü

  • \cos 110^\circ = \cos (180^\circ - 70^\circ) = -\cos 70^\circ (Çünkü 2. bölgede kosinüs negatiftir.)
  • Yani, \cos 110^\circ = -\cos 70^\circ

İfade:

\frac{\sin 20^\circ}{-\cos 70^\circ} = - \frac{\sin 20^\circ}{\cos 70^\circ}

Ancak \cos 70^\circ = \sin 20^\circ (Çünkü birbirinin tamamlayıcısıdır: 70^\circ + 20^\circ = 90^\circ)

Yani:

-\frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = -1

Sonuç:

İfade değeri: (-1)

Doğru seçenek: A) -1

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Pay (\cos 40 \sin 20 - \sin 40 \cos 20 = -\sin 20) (-\sin 20^\circ)
Payda (-\cos 130 \cos 20 - \sin 130 \sin 20 = -\cos 110) (-\cos 110^\circ)
Trig. Değeri (\cos 110^\circ = -\cos 70^\circ = -\sin 20^\circ) -
Sonuç (\frac{-\sin 20^\circ}{-\cos 110^\circ} = -1) (-1)

Sık Sorulan Sorular

1. Toplam ve fark formülleri neden önemli?
Trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesinde açılar toplandığında ya da fark edildiğinde kullanılırlar. Bu sorunlarda karmaşık ifadeleri basit sinüs veya kosinüs fonksiyonlarına dönüştürürler.

2. Özel açıların trigonometrik değerlerini nasıl öğrenmeliyim?
15°, 30°, 45°, 60°, 90° gibi özel açıların değerlerini ezberlemek ve trigonometrik değer tablolarını kullanmak çözümleri kolaylaştırır.

3. Neden (\cos 110^\circ) ifadesi negatif?
Trigonometrik fonksiyonların işaretleri birim çemberde bulundukları bölgeye göre değişir. 110°, ikinci bölgede olup burada kosinüs negatiftir.

Sonraki Adımlar

İstersen, trigonometrik toplam ve fark formülleriyle ilgili daha fazla örnek soru çözebilirim ya da temel trigonometrik değerlerin tablosunu ve kullanım alanlarını detaylandırabilirim. Hangi konuda devam etmek istersin?

@Abdurrahman2134