Trigo cotx

YKS TYT
1

image
image3024×4032 898 KB

2

Sorunun çözümü detaylı bir şekilde aşağıda verilmiştir:

Soru:

$$0 < x < \frac{\pi}{2}$$ aralığında olmak üzere

(\csc x + \sec x) \cdot (\sin x - \cos x) = 3 \cot x

olduğuna göre \cot x değeri kaçtır?

Çözüm:

Adım adım ilerleyelim:

1. Verilen ifadeyi daha basit hale getirelim:

Eşitliği açarak başlıyoruz:

(\csc x + \sec x) \cdot (\sin x - \cos x) = 3 \cot x

Burada $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$ ve $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$ olduğunu hatırlayın. İfade şu hale gelir:

\left( \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} \right) \cdot (\sin x - \cos x) = 3 \cot x

2. Ortak paydayı bulalım:

$$\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x}$$ birleşimi aşağıdaki şekilde ortak paydayla yazılabilir:

\frac{\cos x + \sin x}{\sin x \cos x}

Bu durumda ifade şu hale gelir:

\frac{\cos x + \sin x}{\sin x \cos x} \cdot (\sin x - \cos x) = 3 \cot x

3. Çarpma işlemi yapalım:

Paydası aynı olan ifadeyi düzenli bir şekilde çarpıyoruz:

\frac{(\cos x + \sin x) \cdot (\sin x - \cos x)}{\sin x \cos x} = 3 \cot x

Burada, $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$ özdeşliğini kullanabiliriz. Bu şekilde yukarıdaki çarpımı açıyoruz:

(\cos x + \sin x) \cdot (\sin x - \cos x) = (\sin^2 x - \cos^2 x)

Dolayısıyla ifade şu hale gelir:

\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = 3 \cot x

4. Trigonometrik özdeşlikleri kullanalım:

\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) özdeşliğine göre:

\frac{-\cos(2x)}{\sin x \cos x} = 3 \cot x

5. \cot x’i düzenleyelim:

\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} olduğunu biliyoruz. Denklemde \cot x’in her iki tarafına bakalım.

\frac{-\cos(2x)}{\sin x \cos x} = 3 \cdot \frac{\cos x}{\sin x}

Her iki tarafı \sin x ile sadeleştirelim:

\frac{-\cos(2x)}{\cos x} = 3

6. \cos(2x) özdeşliğini uygulayalım:

\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 özdeşliğini yerine koyuyoruz:

\frac{-(2\cos^2 x - 1)}{\cos x} = 3

Payı açalım:

-\frac{2\cos^2 x - 1}{\cos x} = 3

7. Paydasız bir denklem elde edelim:

Bu ifadeyi düzenlediğimizde:

-(2\cos x - \frac{1}{\cos x}) = 3

Buradan sonucu çözerek ilerleyebiliriz!

Sonuç: $\cot(x
x**

3

(cosec x + sec x)(sin x - cos x) = 3 cot x olduğuna göre cot x değeri kaçtır?

Cevap:

Aşağıda bu trigonometri sorusunu adım adım nasıl çözebileceğinizi gösteren detaylı bir rehber bulacaksınız.

Table of Contents

  1. Problemin İncelenmesi
  2. Temel Tanımlar ve Kimlikler
  3. Adım Adım Çözüm
    1. (cosec x + sec x) İfadesinin Açılımı
    2. (sin x - cos x) Çarpımıyla Birleştirme
    3. Denklemi 3 cot x ile Eşitleme
    4. cot x Değerinin Bulunması
  4. Özet Tablo
  5. Sonuç ve Kısa Değerlendirme

1. Problemin İncelenmesi

Verilen trigonometri sorusunda:
0 < x < π/2 olmak üzere
(cosec x + sec x)(sin x - cos x) = 3 cot x
denklemini sağladığı biliniyor. Bizden cot x’in değerini bulmamız isteniyor.

Bu aralık (0 < x < π/2) aynı zamanda sin x, cos x, tan x, cot x, sec x ve cosec x’in tamamının pozitif olduğu bir aralıktır.

2. Temel Tanımlar ve Kimlikler

Aşağıdaki temelleri hatırlamak önemlidir:

  1. cosec x = 1/sin x
  2. sec x = 1/cos x
  3. tan x = sin x / cos x
  4. cot x = cos x / sin x = 1 / tan x
  5. 0 < x < π/2 olduğunda sin x, cos x > 0 ⇒ tan x, cot x, sec x, cosec x de pozitif.

3. Adım Adım Çözüm

3.1. (cosec x + sec x) İfadesinin Açılımı

(cosec x + sec x) = 1/sin x + 1/cos x = (cos x + sin x) / (sin x cos x).

3.2. (sin x - cos x) Çarpımıyla Birleştirme

Verilen çarpım:
(cosec x + sec x)(sin x - cos x)
= [(cos x + sin x) / (sin x cos x)] × (sin x - cos x).

Bu çarpımı “parantez açma” yerine daha kolay bir kimlikle de yapabiliriz:

Önerilen kısa yöntem:
(1/sin x + 1/cos x)(sin x - cos x)
= (sin x - cos x)/sin x + (sin x - cos x)/cos x
= (sin x / sin x - cos x / sin x) + (sin x / cos x - cos x / cos x)
= (1 - cot x) + (tan x - 1)
= (1 - cot x + tan x - 1)
= tan x - cot x.

Dolayısıyla:

(cosec x + sec x)(sin x - cos x) = tan x - cot x.

3.3. Denklemi 3 cot x ile Eşitleme

Soruda bu ifade 3 cot x’e eşit verilmiştir:

tan x - cot x = 3 cot x

3.4. cot x Değerinin Bulunması

Yukarıdaki denklemde tan x - cot x = 3 cot x olduğuna göre:

tan x = 4 cot x.

Diğer yandan tan x ve cot x arasında tan x = 1 / cot x bağıntısı vardır. Dolayısıyla:

1 / cot x = 4 cot x
⇒ 1 = 4 cot² x
⇒ cot² x = 1/4
⇒ cot x = 1/2 (0 < x < π/2 aralığında cot x pozitiftir).

Sonuçta cot x = 1/2 bulunur.

4. Özet Tablo

Adım İşlem veya Kimlik Sonuç/Değer
1. (cosec x + sec x) açılımı 1/sin x + 1/cos x (cos x + sin x)/(sin x cos x)
2. (sin x - cos x) ile çarpımı (cosec x + sec x)(sin x - cos x) tan x - cot x
3. Denklemin verilmesi tan x - cot x = 3 cot x tan x = 4 cot x
4. tan x = 1/cot x bağıntısı 1/cot x = 4 cot x 4 cot² x = 1
5. cot² x = 1/4 0 < x < π/2 ⇒ cot x > 0 cot x = 1/2

5. Sonuç ve Kısa Değerlendirme

Verilen (cosec x + sec x)(sin x - cos x) = 3 cot x eşitliğinden, 0 < x < π/2 koşulu altında cot x = 1/2 olarak bulunur. Temel fikir, (cosec x + sec x)(sin x - cos x) ifadesini uygun biçimde sadeleştirmek ve ardından trigonometrideki tan x - cot x ilişkisini kullanmaktır.

Cevap: cot x = 1/2.

@Berrin_Aldemir

4

I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!