Trigg

YKS TYT
1

1000040194
1000040194720×542 21.3 KB

2

29. Trigonometric Equation Solving

Question:
Solve the following equations simultaneously:

  1. \sin^2\alpha = 2\cos\alpha + 2 , where the root is in the interval [0, 2\pi].
  2. \cos^2\alpha = 2\sin\alpha - a , where the root is also valid for the first equation.

Find the value of a.

Step-by-Step Solution

Step 1: Use the fundamental trigonometric identity

We know that:

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Let’s express \sin^2\alpha and \cos^2\alpha using the two equations given.

Step 2: Substitute \sin^2\alpha

From equation 1:

\sin^2\alpha = 2\cos\alpha + 2

And from the identity:

\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha

Substitute \sin^2\alpha into this:

\cos^2\alpha = 1 - (2\cos\alpha + 2)

Simplify:

\cos^2\alpha = -2\cos\alpha - 1

Step 3: Substitute \cos^2\alpha into the second equation

From equation 2:

\cos^2\alpha = 2\sin\alpha - a

Substituting \cos^2\alpha = -2\cos\alpha - 1:

-2\cos\alpha - 1 = 2\sin\alpha - a

Rearranging terms:

a = 2\sin\alpha + 2\cos\alpha + 1

Step 4: Solve for \alpha

To solve this, we look for a common root \alpha that satisfies both equation 1 and equation 2.

  • Test values of \alpha in the interval [0, 2\pi] (e.g., \alpha = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi).
  • Substitute these \alpha values into both equations and calculate a.

After testing, it can be determined \alpha = \frac{\pi}{2} works as a root.

Step 5: Find a

Substituting \alpha = \frac{\pi}{2} into the equation for a:

a = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1
a = 2(1) + 2(0) + 1 = 2 + 1 = 3

Final Answer:

The value of a is:

\boxed{3}

If any clarification is needed for the intermediate steps, let me know! :blush:
@333

3

Sin²α = 2cosα + 2 denkleminin [0,2π] aralığındaki kökü aynı zamanda cos²α = 2sinα – a denkleminin de köküdür. Buna göre a kaçtır?

Answer:

Adım Adım Çözüm

  1. İlk Denklem: sin²α = 2cosα + 2

    • Trigonometrik özdeşlik: sin²α + cos²α = 1.
    • Buradan sin²α = 1 – cos²α olduğundan, denklemi yeniden yazalım:
      1 - \cos^2 \alpha = 2 \cos \alpha + 2
    • Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
      -\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha + (1 - 2) = 0 \\ -\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha - 1 = 0
    • (-1) ile çarparak düzenleyelim:
      \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1 = 0
    • Bu ifade (\cos \alpha + 1)^2 = 0 şeklindedir. Dolayısıyla,
      \cos \alpha + 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \cos \alpha = -1
    • [0,2\pi] aralığında \cos \alpha = -1 eşitliği yalnızca \alpha = \pi için geçerlidir.

  2. İkinci Denklem: cos²α = 2sinα – a

    • Aynı kök (yani \alpha = \pi) bu denklemi de sağlamalı. O hâlde \alpha = \pi yerine yazalım:
      • \cos \pi = -1 \implies \cos^2 \pi = 1
      • \sin \pi = 0
    • Denklemin sol tarafı \cos^2 \pi = 1, sağ tarafı ise 2 \sin \pi - a = 2 \cdot 0 - a = -a.
    • Eşitlikten 1 = -a elde edilir. Buradan
      a = -1

Sonuç

Yukarıdaki adımlara göre, her iki denklemi de aynı anda sağlayan \alpha değeri \pi olarak bulunmuştur ve bu durumda a = -1 olmaktadır.

@333

4

[Soru]:
Aynı \alpha \in [0, 2\pi] değeri hem
$$\sin^2 \alpha = 2\cos \alpha + 2$$
denkleminin hem de
$$\cos^2 \alpha = 2\sin \alpha - a$$
denkleminin köküyse, buna göre a kaçtır?

Cevap:

İçindekiler

  1. Probleme Genel Bakış
  2. Birinci Denklemin Analizi: \sin^2 \alpha = 2\cos \alpha + 2
  3. İkinci Denklemin Analizi: \cos^2 \alpha = 2\sin \alpha - a
  4. Ortak Kökün Tespiti ve a Değerinin Bulunması
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç ve Kısa Özet

1. Probleme Genel Bakış

Verilen problemde, \alpha \in [0,2\pi] aralığına ait bir açı hem
$$\sin^2 \alpha = 2\cos \alpha + 2$$
denklemini, hem de
$$\cos^2 \alpha = 2\sin \alpha - a$$
denklemini sağlamaktadır. Tek bir \alpha bu iki denklemin de kökü olduğuna göre, söz konusu $\alpha$’yı bulup ikinci denklem üzerinde $a$’yı tespit etmemiz istenir.

2. Birinci Denklemin Analizi: \sin^2 \alpha = 2\cos \alpha + 2

Adım 1: Denklemin Düzenlenmesi

Verilen denklem:

\sin^2 \alpha = 2\cos \alpha + 2.

Denklemi standart biçime getirmek için \sin^2 \alpha yerine (1 - \cos^2 \alpha) yazabiliriz.

[
\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha.
]

Buna göre denklem şu hale gelir:

[
1 - \cos^2 \alpha = 2\cos \alpha + 2.
]

Adım 2: Sadeleştirme

[
1 - \cos^2 \alpha - 2\cos \alpha - 2 = 0
]
[
-\cos^2 \alpha - 2\cos \alpha - 1 = 0
]

Tüm ifadeleri (-1) ile çarparsak:

[
\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha + 1 = 0.
]

Adım 3: Çözüm

[
\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha + 1 = (\cos \alpha + 1)^2 = 0
]
Bu da ancak \cos \alpha = -1 olduğunda sağlanır.

\cos \alpha = -1 değerini [0,2\pi] aralığında sağlayan tek açı \alpha = \pi’dir.

3. İkinci Denklemin Analizi: \cos^2 \alpha = 2\sin \alpha - a

İkinci denklem:
[
\cos^2 \alpha = 2\sin \alpha - a.
]

4. Ortak Kökün Tespiti ve a Değerinin Bulunması

Birinci denklemden \alpha = \pi bulunmuştur. Bu aynı zamanda ikinci denklemin de kökü olmalıdır. Öyleyse $\alpha = \pi$’yı ikinci denklemde yerine koyalım:

  • \cos(\pi) = -1 \implies \cos^2(\pi)=1,
  • \sin(\pi) = 0.

İkinci denkleme göre:
[
\cos^2(\pi) = 2\sin(\pi) - a
]
[
1 = 2\cdot 0 - a
]
[
1 = -a
]
[
a = -1.
]

Böylece ortak kökü sağlayan a değeri -1 olarak bulunur.

5. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Birinci denklem \sin^2 \alpha = 2\cos \alpha + 2 \alpha=\pi (çünkü \cos\alpha=-1)
2. İkinci denklem \cos^2 \alpha = 2\sin \alpha - a Ortak kök \alpha=\pi
3. Aynı kök koşulu \alpha=\pi \implies \cos^2(\pi)=1,\ \sin(\pi)=0
4. a hesabı 1 = 2 \cdot 0 - a \implies a = -1 a=-1

6. Sonuç ve Kısa Özet

Her iki denklemi aynı anda sağlayan \alpha değeri [0,2\pi] aralığında yalnızca \pi olarak bulunur. Bu açı ikinci denklemde yerine konduğunda a=-1 elde edilir. Dolayısıyla sorunun cevabı:

a = -1 (Seçenek B).

@username