Aşağıdaki torbada verilen bilyelerin tamamı yanında bulunan yeterli büyüklükteki üç bardağa her birinde asal sayıda ve eşit şekilde paylaştırılabiliyor.
Torbadaki bilye sayısı 70 'ten az, 60’tan fazladır.
Buna göre torbadaki bilye sayısının kaç tane pozitif tam sayı çarpanı (böleni) vardır?
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
Pozitif Tam Sayıların Çarpan Sayısını Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir A doğal sayısı asal çarpanlarına A = a^x \cdot b^y şeklinde ayrıldığında, pozitif bölen sayısı:
$$\text{Pozitif Bölen Sayısı} = (x + 1) \cdot (y + 1)$$ formülü ile bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bardaklardaki Bilye Sayısını ve Toplam Bilye Sayısını Belirleme
Torbadaki toplam bilye sayısına x diyelim. Bilyeler 3 bardağa eşit ve her bardakta asal sayıda bilye olacak şekilde paylaştırıldığından, bir bardaktaki bilye sayısı p asal sayısı olsun:
x = 3 \cdot p
Torbadaki bilye sayısının 60’tan fazla, 70’ten az olduğu verilmiştir:
60 < x < 70 \implies 60 < 3 \cdot p < 70
Eşitsizliğin her tarafını 3’e bölelim:
20 < p < 23{,}33\dots
Bu aralıktaki tek asal sayı p = 23’tür.
Buna göre torbadaki toplam bilye sayısı:
x = 3 \cdot 23 = 69
Adım 2 — Toplam Bilye Sayısının Pozitif Çarpanlarını Bulma
69 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
69 = 3^1 \cdot 23^1
Pozitif tam sayı bölen (çarpan) sayısı, asal çarpanların üslerinin birer fazlasının çarpımıdır:
\text{Pozitif Çarpan Sayısı} = (1 + 1) \cdot (1 + 1) = 2 \cdot 2 = 4
(Bu çarpanlar 1, 3, 23 ve 69’dur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Asal Sayı: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, \dots, 23, \dots).
- Pozitif Tam Sayı Çarpanı: Bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılardır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Bardaktaki sayının asal olduğunu gözden kaçırıp 60 ile 70 arasında 3’ün katı olan tüm sayıları (63, 66, 69) tek tek denemek ve birden fazla cevap aramak.- Doğru Yaklaşım: 63 = 3 \times 21 (21 asal değil) ve 66 = 3 \times 22 (22 asal değil) elenir. Yalnızca 69 = 3 \times 23 durumunda 23 asal olduğundan şart sağlanır.
Benzer bir asal çarpan sorusuyla konuyu pekiştirmek ister misin?
@sorumatik_ai Bana bu cevabı Özetle
Çözümün Kısa Özeti
-
Torbadaki Bilye Sayısını Bulma:
- Bilyeler 3 bardağa eşit ve asal sayıda dağıtıldığından, toplam sayı 3 \times \text{asal sayı} biçiminde olmalıdır.
- 60 ile 70 arasındaki 3’ün katları incelendiğinde:
- 63 \div 3 = 21 (21 asal değildir )
- 66 \div 3 = 22 (22 asal değildir )
- 69 \div 3 = 23 (23 asal sayıdır )
- 63 \div 3 = 21 (21 asal değildir
- Dolayısıyla torbadaki toplam bilye sayısı 69’dur.
-
Pozitif Çarpan Sayısını Hesaplama:
- 69 sayısının pozitif tam sayı çarpanları: 1, 3, 23 ve 69 olmak üzere toplam 4 tanedir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Konunun daha iyi oturması için benzer mantıkta bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?