Toplamınin 5 ile bölümünden kalan x'dir

YKS TYT
1

O! + 1! + 2! + 3! +.. + 15!
toplamınin 5 ile bölümünden kalan x’dir.
Beş basamaklı xxx2y sayısı 36 ile tam bölünebildiğine
göre, y rakamının değeri kaçtır?
A) 9
B) 8
D) 6
E) 4

toplamınin 5 ile bölümünden kalan x'dir.
toplamınin 5 ile bölümünden kalan x'dir.1024×651 110 KB

2

0! + 1! + 2! + \dots + 15! Toplamının Kalanı ve Bölünebilme Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:

  • Faktöriyelde Bölünebilme: n \ge 5 için n! ifadesi içinde 5 çarpanı bulunduğundan n! \equiv 0 \pmod 5 olur.
  • 36 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 36 ile tam bölünebilmesi için aralarında asal olan 4 ve 9 sayılarına tam bölünmesi gerekir.
    • 4 ile bölünebilme: Sayının son iki basamağının 4’ün katı olması gerekir.
    • 9 ile bölünebilme: Sayının rakamları toplamının 9’un katı olması gerekir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x Değerinin Hesaplanması (5 ile Bölümünden Kalan)
5! ve sonraki tüm faktöriyellerin (5!, 6!, \dots, 15!) içinde 5 çarpanı yer aldığı için bu terimlerin 5 ile bölümünden kalan 0’dır. Dolayısıyla kalanı bulmak için yalnızca ilk 5 terimi toplamak yeterlidir:

0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24

Toplam = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34

34 sayısının 5 ile bölümünden kalan:

34 = 5 \times 6 + 4 \implies x = 4

Adım 2 — Sayının Oluşturulması
x = 4 olduğuna göre beş basamaklı xxx2y sayısı:

4442y

şeklindedir.

Adım 3 — 4 ile Bölünebilme Şartının Uygulanması
4442y sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağı olan 2y sayısının 4’ün katı olması gerekir:

2y \in \{20, 24, 28\} \implies y \in \{0, 4, 8\}

Adım 4 — 9 ile Bölünebilme Şartının Uygulanması
Sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 9’un tam katı olmalıdır:

\text{Rakamlar Toplamı} = 4 + 4 + 4 + 2 + y = 14 + y

14 + y toplamının 9’un katı olabilmesi için:

14 + y = 18 \implies y = 4

Adım 5 — Sonuçların Doğrulanması

  • y = 4 değeri 4 ile bölünebilme kümesinde (y \in \{0, 4, 8\}) yer alır.
  • Oluşan 44424 sayısı için:
    \frac{44424}{36} = 1234
    Sayımız 36 ile kalansız bölünmektedir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Faktöriyelli İfadelerde Modüler Aritmetik

  • Tanım: n! ifadesi 1’den n’ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımıdır.
  • Bu problemde: 5 \le n için n! sayısı 5’e tam bölündüğü için 5!'den sonraki terimler toplama etki etmemiştir.

2. Aralarında Asal Çarpanlara Bölünebilme

  • Tanım: Bir sayı, aralarında asal iki sayının çarpımına tam bölünüyorsa bu çarpanların her birine ayrı ayrı tam bölünür.
  • Bu problemde: 36 sayısı aralarında asal olan 4 \times 9 şeklinde ayrılmış ve her iki kural da sırayla uygulanmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 0! Değerini 0 Almak

  • Yanlış: 0! = 0 kabul edip toplamı 33 bulmak (x = 3).
  • Doğru: Matematiksel tanım gereği 0! = 1’dir.
  • Neden yanlış: 0! değeri tanımsal olarak 1 kabul edilir, 0 alınırsa kalan eksik hesaplanır.

Bu tip faktöriyelli bölünebilme sorularını pekiştirmek için benzer bir alıştırma sorusu çözmemi ister misin?