A =1-2 +2-3+3-4+1+13-14
toplamında her bir terimin birinci çarpanı birer artnk
A değeri kaç artar?
A) 36
B) 55
C) 66
D) 78
E) 104
As
Bir
tar
do
A = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 13 \cdot 14 Toplamındaki Artış Miktarının Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
-
Terimlerdeki Değişim: Bir çarpımın ilk çarpanı 1 artırıldığında terimdeki artış miktarı, ikinci çarpanın değerine eşit olur:
(a + 1) \cdot b - a \cdot b = b \cdot (a + 1 - a) = b -
Ardışık Sayılar Toplamı Formülü:
1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Yeni Toplamı İfade Etme
Orijinal toplam:
A = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 13 \cdot 14
Her terimin birinci çarpanı 1 artırıldığında elde edilen yeni toplama B diyelim:
B = (1 + 1) \cdot 2 + (2 + 1) \cdot 3 + (3 + 1) \cdot 4 + \dots + (13 + 1) \cdot 14
B = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + \dots + 14 \cdot 14
Adım 2 — Her Bir Terimdeki Artış Miktarını Belirleme
A değerinin ne kadar arttığını bulmak için (B - A) farkını terim terim hesaplayalım:
-
- terimdeki artış: 2 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 2 \cdot (2 - 1) = 2
-
- terimdeki artış: 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 3 \cdot (3 - 2) = 3
-
- terimdeki artış: 4 \cdot 4 - 3 \cdot 4 = 4 \cdot (4 - 3) = 4
- …
-
- terimdeki artış: 14 \cdot 14 - 13 \cdot 14 = 14 \cdot (14 - 13) = 14
Adım 3 — Toplam Artışı Hesaplama
Oluşan toplam artış 2’den 14’e kadar olan ardışık tamsayıların toplamıdır:
\text{Artış Miktarı} = 2 + 3 + 4 + \dots + 14
1’den 14’e kadar olan sayıların toplamı:
\frac{14 \cdot 15}{2} = 105
Toplamda 1 sayısı yer almadığı için:
\text{Artış Miktarı} = 105 - 1 = 104
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (104)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpan Değişimi ve Ortak Parantez
- Tanım: Bir çarpma işleminde çarpanlardan biri \Delta x kadar artırıldığında, çarpım diğer çarpanın \Delta x katı kadar artar.
- Bu problemde: Birinci çarpan 1 artırıldığı için her terimdeki net artış doğrudan ikinci çarpana (2, 3, 4, \dots, 14) eşit olmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
İlk Terimi (1) Toplama Dahil Etmek
- Yanlış: \frac{14 \cdot 15}{2} = 105 sonucunu doğrudan işaretlemek.
- Doğru: Serinin 2 ile başladığını dikkate alarak 105 - 1 = 104 sonucuna ulaşmak.
- Neden Yanlış: Artış dizisi 1’den değil, ilk terimin ikinci çarpanı olan 2’den başlar.
Benzer tipte çarpan artırma/azaltma sorularıyla ilgili pratik bir soru daha çözmemi ister misin?