B)
c2 D
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?
1+ tanoa + cota
Trigonometrik İfadenin Alabileceği Değerler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Pozitif reel sayılar için Aritmetik Ortalama - Geometrik Ortalama Eşitsizliği (veya tam kare açılımı):
\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1
x > 0 \text{ için } x + \frac{1}{x} \ge 2
(\tan\alpha - \cot\alpha)^2 \ge 0 \implies \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \ge 2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi sadeleştirme ve bağıntıyı kurma
Verilen ifadedeki \tan^2\alpha + \cot^2\alpha kısmını iki terimin farkının karesi cinsinden yazalım:
\tan^2\alpha + \cot^2\alpha = (\tan\alpha - \cot\alpha)^2 + 2\tan\alpha\cot\alpha
\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 olduğu için:
\tan^2\alpha + \cot^2\alpha = (\tan\alpha - \cot\alpha)^2 + 2
Adım 2 — İfadenin alabileceği minimum (en küçük) değeri bulma
Bir reel sayının karesi daima sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir ((\tan\alpha - \cot\alpha)^2 \ge 0). Bu durumun en küçük değeri 0’dır (yani \tan\alpha = \cot\alpha = \pm 1 olduğu durumlarda).
Buna göre:
\tan^2\alpha + \cot^2\alpha \ge 2
Bize sorulan ifadeye 1 ekleyelim:
1 + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \ge 1 + 2
1 + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \ge 3
Dolayısıyla bu ifadenin sonucu en az 3 veya 3’ten daha büyük bir değer olmak zorundadır.
Adım 3 — Seçenekleri inceleme
Seçeneklerdeki değerlerin 3 ile olan ilişkisini karşılaştıralım:
- A) \frac{1}{2} = 0{,}5 < 3 (Olamaz)
- B) \frac{3}{2} = 1{,}5 < 3 (Olamaz)
- C) 2 < 3 (Olamaz)
- D) \frac{5}{2} = 2{,}5 < 3 (Olamaz)
- E) \frac{11}{3} \approx 3{,}67 \ge 3 (3’ten büyük olduğu için bu değeri alabilir)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \frac{11}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Birbirinin Çarpmaya Göre Tersi Olan İfadeler: Birbirinin tersi olan iki pozitif reel sayının toplamı (x + \frac{1}{x}) her zaman en az 2 değerini alır. \tan^2\alpha ve \cot^2\alpha pozitif olduğundan toplamları daima 2 veya daha büyüktür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha ve 1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha dönüşümlerini yapıp karmaşık trigonometrik denklemlere girerek zaman kaybetmek.- Doğru Yaklaşım: İfadenin alabileceği en küçük değer sınırını (x + \frac{1}{x} \ge 2 eşitsizliğini) fark edip seçenekleri bu alt sınıra göre doğrudan elemek.
Benzer bir mantıkla \sin^2\alpha + \csc^2\alpha ifadesinin en küçük değerini bulmak ister misin?