A)
B)
2
3
C)2
D)
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?
1+ ta n^{2}a + cota
Trigonometrik İfadenin Alabileceği Değerler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1
- Tam kare açılımı ve eşitsizlik özelliği: Herhangi bir gerçel x sayısı için x^2 \ge 0 olduğundan,
(\tan\alpha - \cot\alpha)^2 \ge 0 \implies \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \ge 2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \tan^2\alpha + \cot^2\alpha İfadesinin En Küçük Değerini Bulma
\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 bağıntısını kullanarak tam kare ifadesi oluşturalım:
(\tan\alpha - \cot\alpha)^2 = \tan^2\alpha - 2\tan\alpha\cot\alpha + \cot^2\alpha
(\tan\alpha - \cot\alpha)^2 = \tan^2\alpha - 2(1) + \cot^2\alpha
(\tan\alpha - \cot\alpha)^2 + 2 = \tan^2\alpha + \cot^2\alpha
Bir gerçel sayının karesi en az 0 olabileceğinden:
(\tan\alpha - \cot\alpha)^2 \ge 0 \implies \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \ge 2
Adım 2 — Verilen Toplamın Değer Aralığını Belirleme
Soruda verilen ifadeye 1 ekleyelim:
1 + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \ge 1 + 2
1 + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \ge 3
Bu toplamın alabileceği en küçük değer 3’tür. Dolayısıyla ifadenin sonucu 3’e eşit veya 3’ten büyük bir değer olmak zorundadır.
Adım 3 — Seçenekleri Değerlendirme
- A) \frac{1}{2} = 0{,}5 < 3 (Olamaz)
- B) \frac{3}{2} = 1{,}5 < 3 (Olamaz)
- C) 2 < 3 (Olamaz)
- D) \frac{5}{2} = 2{,}5 < 3 (Olamaz)
- E) \frac{11}{3} \approx 3{,}67 \ge 3 (3’ten büyük olduğu için bu değeri alabilir)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \frac{11}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aritmetik-Geometrik Ortalama (A.G.O.) Eşitsizliği: Pozitif sayılar için \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} kuralından da \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \ge 2\sqrt{\tan^2\alpha \cdot \cot^2\alpha} = 2 sonucuna doğrudan ulaşılabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: \tan\alpha veya \cot\alpha değerlerini rastgele dar açılar vererek (30^\circ, 45^\circ vb.) denemek ve seçeneklerin hiçbirini tam tutturamayıp tereddütte kalmak.- Doğru Yaklaşım: “Hangisine eşit olabilir?” tipi sorularda ifadenin minimum/maksimum değer aralığını bularak şıkları elemek.
Bu soru tipinde Aritmetik-Geometrik Ortalama (A.G.O.) eşitsizliğini kullanarak benzer bir soru çözmek ister misin?