Toplama ve çarpma işlemine göre kapalılık özelliği var mı

[Mustafa_OZCAKMAK (Mustafa ÖZÇAKMAK)]

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

A kümesi ( A = { x \mid x = 3k - 1, , k \in \mathbb{Z} } ) olarak verilmiştir. Şimdi, bu kümenin toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı olup olmadığını inceleyelim.

Toplama İşlemine Göre Kapalılık

Bir kümenin toplama işlemine göre kapalı olması demek, o kümenin iki elemanının toplamının da yine o kümenin bir elemanı olması demektir. A kümesinin herhangi iki elemanı ( a = 3k_1 - 1 ) ve ( b = 3k_2 - 1 ) formunda olabilir. Bu iki elemanın toplamı:

a + b = (3k_1 - 1) + (3k_2 - 1) = 3k_1 + 3k_2 - 2 = 3(k_1 + k_2) - 2

Bu ifade, ( 3m - 1 ) formuna uymadığı için ( A ) kümesi toplama işlemine göre kapalı değildir.

Çarpma İşlemine Göre Kapalılık

Bir kümenin çarpma işlemine göre kapalı olması demek, o kümenin iki elemanının çarpımının da yine o kümenin bir elemanı olması demektir. A kümesinin iki elemanı ( a = 3k_1 - 1 ) ve ( b = 3k_2 - 1 ) olsun. Bu iki elemanın çarpımı:

a \times b = (3k_1 - 1) \times (3k_2 - 1) = 9k_1k_2 - 3k_1 - 3k_2 + 1

Bu ifadeyi ( x = 3m - 1 ) formuna getirmeyi deneyelim:

a \times b = 9k_1k_2 - 3k_1 - 3k_2 + 1

Bu form ( a \times b \equiv 2 (\text{mod } 3) ) şeklinde sonuçlanıyor ki bu da A kümesinin elemanı olacak şekilde yazılamaz. Dolayısıyla, ( A ) kümesi çarpma işlemine göre de kapalı değildir.

Özetle, ( A ) kümesi ne toplama ne de çarpma işlemine göre kapalıdır çünkü bu işlemlerin sonuçları ( A ) kümesine ait değildir.