4554643

YKS TYT
1

image
image757×252 23.6 KB

2

:pushpin: SORU:
a^2b + ab^2 + 8 = 0 ve
a + b - ab - 17 = 0 denklemlerini sağlayan gerçek sayılar için a \cdot b ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Denklemlerde ab ve a + b ifadelerini ayrı değişkenler olarak ele almak.
  • Verilen denklemleri bu değişkenlerle sadeleştirmek.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklem Sistemi İçin Değişken Ataması
a \cdot b = x ,
a + b = y olarak tanımlayalım.

Adım 2 — İlk Denklemin Düzenlenmesi
İlk denklem:
a^2b + ab^2 + 8 = 0
Bu ifadeyi şu şekilde yazabiliriz:
a^2b + ab^2 = ab(a + b) = x \cdot y ,
Öyleyse:

x \cdot y + 8 = 0 \Rightarrow xy = -8

Adım 3 — İkinci Denklemin Düzenlenmesi
İkinci denklem:
a + b - ab - 17 = 0 ,
yani

y - x - 17 = 0 \Rightarrow y - x = 17

Adım 4 — Denklem Sistemi Çözümü
İki denklemimiz var:

xy = -8 \quad (1)
y - x = 17 \quad (2)

(2) denklemini y = x + 17 şeklinde düzenleriz.

Bunu (1) denklemine yerine koyarsak:

x(x + 17) = -8
x^2 + 17x = -8
x^2 + 17x + 8 = 0

Adım 5 — x (yani ab ) için denklemi çözme

x^2 + 17x + 8 = 0

Diskriminant:

\Delta = 17^2 - 4 \times 1 \times 8 = 289 - 32 = 257

Kökler:

x = \frac{-17 \pm \sqrt{257}}{2}

Adım 6 — ab değerlerinin toplamı
İkinci dereceden bir denklemde köklerin toplamı katsayılar oranıyla bulunur:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{17}{1} = -17

ab değerlerinin toplamı -17 olur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) -17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. İkinci Derece Denklemin Kökleri
  • Köklerin toplamı -b/a, çarpımı c/a şeklinde bulunur.
  • Bu problemde köklerin toplamını kullanarak ab değerlerinin toplamını bulduk.
  1. Değişken Yerine Koyma
  • Karmaşık ifadeleri daha sade hale getirmek için a+b ve ab gibi ifadalar ayrı değişken olarak alınabilir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: a^2b + ab^2 + 8 = 0, a + b − ab − 17 = 0 denklemlerine göre a ve b gerçek sayıları için a·b ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Tanım: p = a + b, q = ab tanımları kullanılarak cebirsel dönüşüm yapılır.
  • Kullanım: a^2b + ab^2 = ab(a+b) = q p ve ikinci denklem p − q = 17 biçimine getirilir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklemleri p,q ile ifade etme

  • a^2b + ab^2 + 8 = 0 ⇒ ab(a + b) + 8 = 0 ⇒ p q + 8 = 0.
  • a + b − ab − 17 = 0 ⇒ p − q − 17 = 0 ⇒ p = q + 17.

Adım 2 — q için polinom elde etme

  • p q + 8 = 0 yerine p = q + 17 yazılır: q(q + 17) + 8 = 0.
  • Açılır: q^2 + 17q + 8 = 0.
  • Diskriminant: Δ = 17^2 - 4\cdot1\cdot8 = 289 - 32 = 257.
  • Kökler: q = \dfrac{-17 \pm \sqrt{257}}{2}.

Adım 3 — Köklerin toplamı (Vieta)

  • İkinci derece denkleme göre köklerin toplamı = -\dfrac{17}{1} = -17.
  • Yani a·b ifadesinin alabileceği iki değerin toplamı -17’dir.

Adım 4 — Seçenekleri incele

Adım 4 — A Seçeneğini İncele

  • A) -19 — Bu seçenek, Adım 3’te bulunan toplam -17 ile eşleşmiyor; YANLIŞ.

Adım 4 — B Seçeneğini İncele

  • B) -17 — Bu seçenek, Adım 3’te bulunan toplam ile eşleşiyor; olası DOĞRU adayıdır.

Adım 4 — C Seçeneğini İncele

  • C) -15 — Adım 3’teki toplam -17 ile eşleşmiyor; YANLIŞ.

Adım 4 — D Seçeneğini İncele

  • D) -13 — Adım 3’teki toplam -17 ile eşleşmiyor; YANLIŞ.

Adım 4 — E Seçeneğini İncele

  • E) -11 — Adım 3’teki toplam -17 ile eşleşmiyor; YANLIŞ.

Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: A. -19 — YANLIŞ (kök toplamı -17 değil)
:white_check_mark: B. -17 — DOĞRU (elde edilen köklerin toplamı -17)
:cross_mark: C. -15 — YANLIŞ
:cross_mark: D. -13 — YANLIŞ
:cross_mark: E. -11 — YANLIŞ

Adım 6 — Son Doğrulama

  • q için elde edilen denklemin kökleri q_1, q_2 ise Vieta’ya göre q_1+q_2 = -17. Bu nedenle seçenekler arasında doğru olan -17’dir.

:white_check_mark: CEVAP: B) −17

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?