Sorunun Çözümü
Soruda verilen bilgiler doğrultusunda, verilen ifadelerden hangisinin f(x) fonksiyonuna eşit olabileceğini analiz edelim.
Sorunun Detayları:
- a, b, c reel sayılar verilmiş ve 0 < c < b < a < \pi olduğu belirtilmiştir.
- \lvert f(a) \rvert > \lvert f(b) \rvert > \lvert f(c) \rvert ifadesinin tüm a, b, c için geçerli olduğu belirtiliyor. Bu, f(x) fonksiyonunun x büyüdükçe genliği azalıyor şeklinde büyüklük sıralamasına dikkat etmemizi gerektiriyor.
Bu durumu sağlayabilecek bir fonksiyon arıyoruz. Örnek olarak sinüs fonksiyonu ve varyasyonlarını analiz edeceğiz.
Verilen Fonksiyonlar:
- \sin(x)
- \sin\left(\frac{x}{2}\right)
- \cos\left(\frac{2x}{3}\right)
Adım Adım İnceleme:
I. \sin(x):
- Sinüs fonksiyonu (sin(x)), standart olarak periyodik bir fonksiyon olup genliği [-1, 1] aralığında değişir.
- Ancak |f(a)| > |f(b)| > |f(c)| sıralamasını sağlamak için monotonik azalan bir yapı olmalıdır.
- \sin(x) fonksiyonu bu yapıyı doğrudan sağlamaz çünkü artma ve azalma bölgeleri vardır. Bu durumda I yanlış.
II. \sin\left(\frac{x}{2}\right):
- \sin\left(\frac{x}{2}\right) fonksiyonu, daha uzun dalga boyuna sahip bir varyasyondur (yani periyodu artar).
- x arttıkça sinüs fonksiyonunun genliği azalma sırasını sağlayabileceği bir bölge bulunabilir.
- Dolayısıyla bu ifade geçerli olabilir.
III. \cos\left(\frac{2x}{3}\right):
- \cos\left(\frac{2x}{3}\right) fonksiyonu sinüsle benzer özellikler taşır çünkü periyodik bir fonksiyondur. Ancak verilen koşulları (genlik sıralaması) sağlama kapasitesi vardır.
- Özellikle periyot ayarına dikkat edildiğinde sıralamayı sağlaması mümkündür. Bu nedenle III de geçerli olabilir.
Doğru Şık:
Yukarıdaki analizlere göre geçerli olan ifadeler II ve III’tür.
Cevap: E) II ve III
Özet Tablo:
| Fonksiyon | Analiz | Sonuç |
|---|---|---|
| I. \sin(x) | Genlik sıralamasını sabit bir şekilde sağlayamaz. | Yanlış |
| II. \sin\left(\frac{x}{2}\right) | Verilen genlik sırasını belirli bir bölgede sağlayabilir. | Doğru |
| III. \cos\left(\frac{2x}{3}\right) | Belirli bir bölgede genlik sırasını sağlayabilir. | Doğru |
Herhangi bir sorunuz varsa detaylı açıklamaya devam edebilirim! 
27. a, b ve c birer gerçek sayı ve 0 < c < b < a < π olmak üzere, her a, b ve c gerçek sayısı için |f(a)| > |f(b)| > |f(c)| koşulu sağlanıyor. Buna göre y = f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?
I. sin x
II. sin(x/2)
III. cos(2x/3)
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) I ve III
E) II ve III
Cevap:
İçindekiler
- Problemin Özeti
- Temel Bilgiler ve Tanımlar
- İşlevlerin İncelenmesi
- Koşulun Sağlanması ve Sonuç
- Özet Tablo
- Kısa Özet
1. Problemin Özeti
Sorumuzda, 0 < c < b < a < π olacak şekilde reel sayılar seçtiğimizde, bir fonksiyonun şu özelliği sağlaması isteniyor:
|f(a)| > |f(b)| > |f(c)|
Bu ifade, (0, π) aralığında x değeri büyüdükçe fonksiyonun mutlak değerinin de büyümesi demektir. Bize üç farklı fonksiyon olasılığı sunuluyor:
- sin x
- sin(x/2)
- cos(2x/3)
Bu üç aday arasından hangisinin bu koşulu tam olarak karşıladığını inceleyeceğiz.
2. Temel Bilgiler ve Tanımlar
- Mutlak Değer (|f(x)|): Herhangi bir x değeri için f(x) fonksiyonunun pozitif veya negatif olmasına bakmaksızın, uzaklığını ifade eder.
- Monoton Artış (Strictly Increasing): (0, π) aralığında x arttıkça |f(x)| sürekli artıyorsa, bu koşul sağlanmış olur.
3. İşlevlerin İncelenmesi
3.1. sin x’in Davranışı
- sin x, (0, π) aralığında 0’dan 1’e yükselir ve ardından π/2’den sonra tekrar düşerek π’de 0’a döner.
- Bu nedenle sin x, 0 < x < π’de öncelikle artmakta ancak x = π/2’den sonra azalmaktadır.
- Sonuç olarak, sin x bu aralıkta |f(a)| > |f(b)| > |f(c)| şeklinde sürekli artan bir mutlak değer grafiği oluşturmaz.
3.2. sin(x/2)’nin Davranışı
- sin(x/2), x = 0’dan x = π’ye giderken (yani (x/2) = 0’dan (π/2)’ye) düzenli bir artış gösterir.
- (0, π) aralığı için x/2 değeri (0, π/2) aralığında kalır ve bu aralıkta sin(x/2) 0’dan 1’e doğru tek yönlü ve monoton bir şekilde artar.
- Dolayısıyla 0 < c < b < a < π ise sin(c/2) < sin(b/2) < sin(a/2) geçerli olup mutlak değer de aynı şekilde artar.
- Bu durum, |f(a)| > |f(b)| > |f(c)| koşulunu karşılar.
3.3. cos(2x/3)’ün Davranışı
- cos(2x/3), x = 0’da 1 değerini alırken x = π noktasında cos(2π/3) = -1/2 olur.
- Bu fonksiyon 1’den -1/2’ye doğru azaldığı için arada 0’ı da geçer, mutlak değer grafiği önce 1’den 0’a iner, sonra tekrar 1/2 civarına çıkar.
- Dolayısıyla mutlak değer düzenli olarak artmamakta, belli bir noktadan sonra tekrar yükselmekte veya azalmaktadır.
- Bu sebeple cos(2x/3) de |f(a)| > |f(b)| > |f(c)| dizesini (0, π) boyunca her zaman yerine getirecek şekilde monoton artan bir grafiğe sahip değildir.
4. Koşulun Sağlanması ve Sonuç
Yukarıdaki analizlere göre, yalnızca sin(x/2) (II. ifade) (0, π) aralığında x arttıkça mutlak değeri düzenli şekilde artar. Böylece 0 < c < b < a < π seçildiğinde |f(a)| > |f(b)| > |f(c)| koşulunun her zaman sağlandığı tek fonksiyon sin(x/2) olmaktadır.
Dolayısıyla doğru cevap:
B) Yalnız II.
5. Özet Tablo
| Fonksiyon | (0, π) Aralığındaki Temel Özellik | Mutlak Değer Davranışı | Monoton Artış? |
|---|---|---|---|
| sin x | 0’da 0, π/2’de 1, π’de 0 | Önce artar, sonra azalır | Hayır |
| sin(x/2) | 0’da 0, π’de 1 | Başlangıçtan bitişe hep artar | Evet |
| cos(2x/3) | 0’da 1, π’de -1/2 | 1 → 0 → 1/2 (mutlak değer karmaşık) | Hayır |
6. Kısa Özet
Bu soruda, 0 ve π arasında büyükten küçüğe sıralanmış a, b, c değerleri için |f(a)| > |f(b)| > |f(c)| koşulu sorgulanmıştır. sin x ve cos(2x/3) fonksiyonları bu aralıkta mutlak değer olarak düzenli bir artış göstermediği için bu koşulu sürekli sağlamaz. sin(x/2) ise (0, π) aralığında monoton artan bir yapı sergilediğinden koşulu sağlayan tek adaydır. Doğru cevap bu yüzden “Yalnız II” seçeneğidir.