117. (z = 1 - i) ve (z) karmaşık sayısının eşleniği (\bar{z}) olmak üzere, karmaşık sayılar kümesinde [(z + 2) \cdot (\bar{z} + 2)] ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap:
Adım Adım Çözüm
1. Karmaşık sayı ve eşleniğini yazalım:
- (z = 1 - i)
- ( \bar{z} = 1 + i )
2. Her iki ifadeye 2 ekleyelim:
- (z + 2 = (1 - i) + 2 = 3 - i)
- (\bar{z} + 2 = (1 + i) + 2 = 3 + i)
3. İfadeyi çarpalım:
[
(z + 2) \cdot (\bar{z} + 2) = (3 - i)\cdot (3 + i)
]
Bu çarpma, iki karmaşık sayının çarpımıdır ve şu formül ile yapılır:
[
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
]
Burada (a = 3), (b = i):
[
(3 - i)(3 + i) = 3^2 - i^2
]
[
= 9 - (i^2)
]
Biliyoruz ki (i^2 = -1), o halde:
[
9 - (i^2) = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10
]
Sonuç
[
\boxed{10}
]
Cevap şıkkı: D seçeneği (10) doğrudur.
Z = 1 - i ve Z karmaşık sayısının eşleniği Z̄ olmak üzere (Z + 2)⋅(Z̄ + 2) ifadesinin değerinin kaç olduğu sorusu nasıl çözülür?
Soru İncelemesi
Gönderilen görselde karmaşık sayılarla ilgili bir soru verilmiş. Soruda karmaşık bir sayı (Z = 1 - i) ve bu sayının eşleniği (\overline{Z} = 1 + i) verilmiş. Yapılması gereken işlem, bu iki karmaşık sayı kullanılarak matematiksel ifadeyi sadeleştirmek ve değerini hesaplamak.
Adım Adım Çözüm
1. Karmaşık Sayı ve Eşleniği Tanımı
Bir karmaşık sayının genelde şu şekilde tanımlandığını hatırlayalım:
$$ Z = a + bi $$
Burada, a gerçel kısmı ifade ederken, b de sanal kısmı ifade eder. Eşlenik karmaşık sayı ise şu şekilde tanımlanır:
$$ \overline{Z} = a - bi $$
Bu soruda:
$$ Z = 1 - i $$
$$ \overline{Z} = 1 + i $$
2. Verilen İfade Üzerine İşlem
Soruda verilen ifade:
$$ (Z + 2) \cdot (\overline{Z} + 2) $$
Burada Z ve \overline{Z} yerine verilen değerleri yerleştiriyoruz:
$$ Z + 2 = (1 - i) + 2 = 3 - i $$
$$ \overline{Z} + 2 = (1 + i) + 2 = 3 + i $$
3. Çarpma İşlemi
Şimdi (Z + 2) ile (\overline{Z} + 2)'yi çarpıyoruz:
$$ (3 - i) \cdot (3 + i) $$
Bu tür ifadeyi çarparken, karmaşık sayılar için şu özelliği kullanırız:
$$ (a - bi) \cdot (a + bi) = a^2 - b^2i^2 $$
Burada a = 3 ve b = 1 olduğundan:
$$ (3 - i) \cdot (3 + i) = 3^2 - (1)^2i^2 $$
4. i^2 Değerini Yerleştirme
Karmaşık sayıların özelliği gereği, i^2 = -1 olduğundan bu ifadeyi şöyle sadeleştirebiliriz:
$$ 3^2 - (1)^2(-1) $$
$$ 9 - (-1) $$
$$ 9 + 1 = 10 $$
Sonuç
Bu işlemin sonucu 10 olarak bulunur. Sorunun doğru cevabı C) 10 olacaktır.
Özet
Soruyu adım adım matematiksel işlemlerle çözümleyerek sonucu bulduk:
- Karmaşık sayı ve eşleniği yerleştirildi.
- İfade açılarak çarpma işlemi gerçekleştirildi.
- i^2 = -1 özelliği kullanılarak sadeleştirme yapıldı.
Sonuç: Cevap 10.
Eğer başka sorularınız varsa veya açıklamaları daha detaylı hale getirmemi isterseniz, lütfen belirtin! 
Z = 1 – i ise onun eşleniği ={z} = 1 + i’dir.
Adım adım:
- z + 2 = (1 – i) + 2 = 3 – i
- ={z} + 2 = (1 + i) + 2 = 3 + i
- (z + 2)\·(={z} + 2) = (3 – i)(3 + i)
= 3² – i²
= 9 – (–1)
= 10
Cevap: 10 (Seçenek C)
117. Soru: (z − i√2)(z̅ + i√2) Değeri
Soru:
z = 1 − i√2 karmaşık sayısının eşleniği z̅ = 1 + i√2 olmak üzere,
karmaşık sayılar kümesinde (z − i√2)(z̅ + i√2) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13
Çözüm Aşamaları:
-
Öncelikle z ve z̅’yi yazalım:
• z = 1 − i√2
• z̅ = 1 + i√2 -
Parantez içlerini düzenleyelim:
• (z − i√2) = (1 − i√2) − i√2 = 1 − 2i√2
• (z̅ + i√2) = (1 + i√2) + i√2 = 1 + 2i√2 -
İfadeyi çarpalım:
(1 − 2i√2)(1 + 2i√2)
Bu, (a − b)(a + b) = a² − b² kalıbına uyar.- a = 1 → a² = 1
- b = 2i√2 → b² = (2i√2)² = 4 · i² · 2 = 4 · (−1) · 2 = −8
Dolayısıyla,
(1 − 2i√2)(1 + 2i√2) = 1 − (−8) = 1 + 8 = 9
Cevap: 9