Soru: m Sayısı Kaçtır?
Verilen bilgi:
Fonksiyon f(x) = x^2 + mx + n, ikinci dereceden bir fonksiyon.
eşitliği sağlanıyor.
Çözüm:
1. Türev Kavramı ve Limit İfadesinin Analizi
Limit:
şeklindeyken, bu ifade aslında türevdir ve şunu ifade eder:
Bu nedenle:
dediğimizde, bu ifadeyi sağlayan $f’(4)$’ü hesaplamamız gerekir.
2. Fonksiyonun Türevini Bulma
Fonksiyon: f(x) = x^2 + mx + n.
Bu fonksiyonun türevini alalım:
4 noktasındaki türev değeri:
3. Limit İfadesinin Sağlanması
Soruda verilen limit ifadesi:
Bu durumda, türev değerinin aynı zamanda bu limitte sağlandığını biliyoruz. Şimdi f(4) ve f(2) ifadelerini daha detaylı bir şekilde analiz edelim.
4. f(4) ve f(2) Değerlerini Hesaplama
Fonksiyonumuz f(x) = x^2 + mx + n.
- f(4):
- f(2):
5. Limit İfadesinde Yerine Yazma
Limit:
a = 4 ve türev f'(4) = 8 + m olduğundan, bu limitin nasıl eşitlik sağladığını gösterelim:
Burada verilen soruyu doğru çözebilmek için teknik bir hata vardı. Hemen çözümü düzelterek detaylı adımlarla tamamlıyoruz:
Soru: m Sayısı Kaçtır?
Fonksiyon f(x) = x^2 + mx + n için şu bilgi verilmiştir:
$$\lim_{x \to 4} \frac{f(x) - f(2)}{x-4} = f’(4)$$
Bu eşitliği sağlayan m değerini bulmamız gerekiyor.
1. Fonksiyonun Türevini Bulma
Fonksiyonu türev alarak başlanır:
$$f(x) = x^2 + mx + n$$
$$f’(x) = 2x + m$$
4 noktasında türev:
$$f’(4) = 2(4) + m = 8 + m$$
2. Limit İfadesinin Açılımı
Limit:
$$\lim_{x \to 4} \frac{f(x) - f(2)}{x-4}$$
Buradaki pay kısmını açalım:
$$f(x) = x^2 + mx + n$$
(a) f(4):
$$f(4) = 4^2 + 4m + n = 16 + 4m + n$$
(b) f(2):
$$f(2) = 2^2 + 2m + n = 4 + 2m + n$$
Pay:
$$f(4) - f(2) = (16 + 4m + n) - (4 + 2m + n) = 12 + 2m$$
Şimdi limit ifadesine bu değerleri yazalım.
3. Limit Eşitliği
Soruda verilen:
$$\lim_{x \to 4} \frac{12 + 2m}{x-4} = f’(4)$$
Burada x \to 4 olduğu için limitin anlamı doğrudan türevdir. Bu nedenle:
$$\lim_{x \to 4} \frac{12 + 2m}{x-4}$$
aslında türev değeri olan $f’(4)$’e eşittir.
Türev değeri:
$$f’(4) = 8 + m$$
Sonuç:
$$12 + 2m = 8 + m$$
4. m Değerini Bulma
Son adımda denklem çözelim:
$$12 + 2m = 8 + m$$
$$12 – 8 = m – 2m$$
$$4 = m$$
Sonuç: m = 4
Bu durumda soruda verilen koşulları sağlayan m değeri 4’tür.
f(x) = x² + m x + n biçimindeki ikinci dereceden fonksiyon için
[
\lim_{x \to 4} \frac{f(x) - f(2)}{x - 4} = f’(4)
]
şartı sağlanıyorsa, bu durum fonksiyonun 4’teki türevine “normal” fark formülüyle ( $f(x) - f(4)$’lü ) kıyaslandığında ancak f(4) = f(2) olması halinde limitin sonlu ve tam da f'(4) değerine eşit olabileceğini gösterir. Aksi takdirde sabit sayı farkından kaynaklanan terim limitte sonsuza gidecektir.
Dolayısıyla önce şu eşitliği kuralım:
[
f(4) ;=; f(2).
]
Fonksiyonu yerleştirirsek:
[
f(4) = 4^2 + 4m + n = 16 + 4m + n,
]
[
f(2) = 2^2 + 2m + n = 4 + 2m + n.
]
Bu ikisinin eşit olması için:
[
16 + 4m + n ;=; 4 + 2m + n \quad \Longrightarrow \quad 16 + 4m = 4 + 2m \quad\Longrightarrow\quad 12 + 2m = 0\quad\Longrightarrow\quad m = -6.
]
Böylece m değeri (-6) bulunur.
Ek olarak, $f’(x) = 2x + m \implies f’(4) = 8 + m = 8 - 6 = 2 olur. Soruda yalnızca m’ı sorduğundan, aradığımız cevap:
m = -6
İçindekiler
1. Problem Tanımı
Verilen ikinci derece fonksiyon:
[
f(x) = x^2 + m x + n
]
ve limit ifadesi:
[
\lim_{x \to 4} \frac{f(x) - f(2)}{x - 4} = f’(4).
]
Bu tür bir limitin $f’(4)$’e eşit olabilmesi için, “normal” türev tanımında yer alan f(4) yerine f(2) kullanıldığında ortaya çıkan fazladan sabit farkın sınırı bozmaması gerekir. Bu da f(4) = f(2) olma koşuluna götürür.
2. Türevin Limit Tanımı ve Farklar
Genel olarak bir fonksiyonun a noktasındaki türevi,
[
f’(a)
= \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}
]
ile tanımlanır. Burada ise \;a=4\; iken fonksiyondaki sabit değer f(4) yerine f(2) kullanıldığı için,
[
\frac{f(x) - f(2)}{x - 4}
]
ifadesinin sınırı normalde $f’(4)$’ten farklı bir değere ya da belirsizliğe gidebilir. Ancak eğer f(4) ve f(2) eşitse, limit tam olarak f'(4) çıkacaktır.
3. f(4) = f(2) Koşulu
Bunu incelemek için:
[
f(4) = 16 + 4m + n, \qquad f(2) = 4 + 2m + n.
]
[
f(4) = f(2)
\quad \Longrightarrow \quad
16 + 4m + n = 4 + 2m + n
\quad \Longrightarrow \quad
12 + 2m = 0
\quad \Longrightarrow \quad
m = -6.
]
4. Hesaplamalar ve Sonuç
• Bulduğumuz \;m=-6\; değerini türevde yerine koyalım:
[
f’(x) = 2x + m \implies f’(4) = 8 + m = 8 - 6 = 2.
]
• Soru yalnızca m katsayısını sorduğundan, m = -6 nihai çözümdür.
5. Özet Tablo
| Adım | İşlem |
|---|---|
| Fonksiyon | f(x) = x^2 + m x + n |
| Koşul (Limit = Türev) | \lim_{x \to 4} \frac{f(x)-f(2)}{x - 4} = f'(4) |
| Gerekli Şart | f(4) = f(2) |
| Eşitlik | 16 + 4m + n = 4 + 2m + n |
| Çözüm | 12 + 2m = 0 \implies m = -6 |
Böylece, m = -6 bulunur.
f(x) = x² + m·x + n fonksiyonu için, lim (x→4) [ (f(x) – f(2)) / (x – 4 ) ] = f′(4) olduğuna göre m kaçtır?
Cevap:
Aşağıdaki adımları izleyelim:
-
Fonksiyonumuz:
f(x) = x² + m·x + n -
Türevi (f′(x)):
f′(x) = 2x + m
Dolayısıyla, f′(4) = 2·4 + m = 8 + m. -
Verilen limit ifadesi:
lim (x→4) [(f(x) – f(2)) / (x – 4)] = f′(4).Bunun anlamı, x → 4 iken (f(x) – f(2)) / (x – 4) ifadesinin değerinin f′(4) olmasıdır.
-
f(2)’yi hesaplayalım:
f(2) = 2² + m·2 + n = 4 + 2m + n. -
Limitteki payı açalım:
f(x) – f(2) = (x² + m·x + n) – (4 + 2m + n).
= x² + m·x + n – 4 – 2m – n
= x² + m·x – 4 – 2m. -
Payı düzenleyip (x – 4)’e bölerek limit alalım:
Numeratör: x² + m·x – 4 – 2m.
Bunu (x – 4) ile sadeleştirebilmek için şöyle yazarız:
x² – 4 + m·x – 2m = (x² – 4) + m(x – 2).Ancak doğrudan (x – 4) parantezini alamadığımızdan, limitin sonlu bir değere eşit olması için (x – 4) çarpanı tutarlı bir şekilde sıfırlanmalıdır. Bu da aşağıdaki gibi incelenir:
• (x² – 4) + m(x – 2) = (x – 2)(x + 2) + m(x – 2)
• = (x – 2)[(x + 2) + m].
• = (x – 2)(x + 2 + m).Elde ettiğimiz payı (x – 4) ifadesiyle sadeleştirmek istiyorsak x → 4 limitinde (x + 2 + m)’in de (x – 4) ile “ortak” sıfıra gitmesi gerekir. Aksi durumda payda (x – 4) iken payda bir (x – 2) faktörü olduğu için limit sonsuza gidebilir.
x = 4 ⇒ x + 2 + m = 4 + 2 + m = 6 + m.
Limitin sonlu (ve türevin değeri) olabilmesi için 6 + m = 0 olmalıdır. Buradan:
m = –6. -
m = –6 için f’(4) değerini bulalım:
f′(x) = 2x + m ⇒ f′(4) = 2·4 + (–6) = 8 – 6 = 2. -
Limitin gerçekten f′(4)’e eşit olduğunu gösterelim:
m = –6 ise,
f(x) – f(2) = x² – 6x – 4 + … (sabit terim n’ler zaten birbirini götürüyor)
ve bu ifade (x – 4)(x – 2) şeklinde çarpanlanabiliyor. Dolayısıyla
(f(x) – f(2)) / (x – 4) = (x – 4)(x – 2) / (x – 4) = x – 2.
x → 4 için limit x – 2 = 2. Bu tam olarak f′(4) = 2’ye eşittir.
Sonuç olarak m = –6’dır.