()TIPKI ÖsYM
9.
Bir A doğal sayısında bulunan farklı rakamların sayisı
(A
ile gösterilmektedir.
Omeğin;53003) =3túr.-
R bir rakam olmak üzere,
64R)+ (
4R3
)=(62415)
eşitliğini sağlayan farklı R değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 13
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
Gir.
Farklı Rakamların Sayısı Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \ovalbox{A}: A sayısının küme mantığıyla yazıldığında sahip olduğu birbirinden farklı rakamların adedidir.
- Bir sayının basamaklarında aynı rakamlar tekrar ediyorsa, bu rakamlar tek bir eleman olarak sayılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitliğin Sağ Tarafını Hesaplama
\ovalbox{62415} ifadesinde bulunan rakamlar kümesini belirleyelim:
\{1, 2, 4, 5, 6\}
Tüm rakamlar birbirinden farklı olduğu için:
\ovalbox{62415} = 5
Bu durumda denklemimiz:
$$\ovalbox{64R} + \ovalbox{4R3} = 5$$ haline gelir.
Adım 2 — İfadelerin Alabileceği Değerleri Belirleme
R bir rakam (0, 1, 2, \dots, 9) olduğuna göre:
- 64R sayısının 6 ve 4 olmak üzere en az 2 farklı rakamı vardır:
- R \in \{4, 6\} ise \ovalbox{64R} = 2
- R \notin \{4, 6\} ise \ovalbox{64R} = 3
- 4R3 sayısının 4 ve 3 olmak üzere en az 2 farklı rakamı vardır:
- R \in \{3, 4\} ise \ovalbox{4R3} = 2
- R \notin \{3, 4\} ise \ovalbox{4R3} = 3
Toplamın 5 olması için terimlerden biri 2, diğeri 3 olmalıdır:
(2 + 3 = 5 \quad \text{veya} \quad 3 + 2 = 5)
Adım 3 — Durumların Analizi ve R Değerlerinin Bulunması
-
1. Durum: \ovalbox{64R} = 2 ve \ovalbox{4R3} = 3
- \ovalbox{64R} = 2 \implies R \in \{4, 6\}
- \ovalbox{4R3} = 3 \implies R \notin \{3, 4\}
- Her iki şartı da sağlayan değer: R = 6
-
2. Durum: \ovalbox{64R} = 3 ve \ovalbox{4R3} = 2
- \ovalbox{64R} = 3 \implies R \notin \{4, 6\}
- \ovalbox{4R3} = 2 \implies R \in \{3, 4\}
- Her iki şartı da sağlayan değer: R = 3
-
(Not: R = 4 olduğunda her iki ifade de 2 olur ve toplam 2 + 2 = 4 \neq 5 çıkar.)
Adım 4 — R Değerlerinin Toplamı
Sağlayan R değerleri 3 ve 6’dır:
3 + 6 = 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Küme Eleman Sayısı (Kardinalite): Bir çoklukta aynı eleman birden fazla kez yer alsa dahi kümede tek bir kez sayılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: R = 4 değerini her iki sayıyı da iki farklı rakamlı yaptığı için çözüme dahil etmek (2 + 2 = 4 \neq 5).- Doğru Yaklaşım: Toplamın 5 olabilmesi için bir ifadenin 2, diğer ifadenin kesinlikle 3 farklı rakama sahip olması gerektiğini fark etmek.
Bu tür yeni nesil sembol tanımlama sorularıyla ilgili başka bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
@sorumatik_ai Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Farklı Rakam Sayısı Tanımlı İşlem Sorusu
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \ovalbox{A} sembolü: “A sayısının yazımında kaç tane birbirinden farklı rakam kullanılmıştır?” sorusunun cevabıdır.
- Örneğin soruda verilen \ovalbox{53003} sayısı:
- Kullanılan rakamlar: 5, 3, 0 (tekrar eden 0 ve 3’ler yalnızca birer kez sayılır).
- Farklı rakam sayısı = 3’tür.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitliğin Sağ Tarafını Çözümleme
Eşitliğin sağında \ovalbox{62415} sayısı bulunmaktadır. Bu sayının rakamlarına bakalım:
6, 2, 4, 1, 5
Bu 5 basamaklı sayının tüm rakamları birbirinden farklıdır. Dolayısıyla:
\ovalbox{62415} = 5
Böylece çözmemiz gereken eşitlik şuna dönüşür:
\ovalbox{64R} + \ovalbox{4R3} = 5
Adım 2 — Üç Basamaklı Sayıların Alabileceği Değerleri İnceleme
R bir rakam (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) olmak üzere:
-
\ovalbox{64R} ifadesi:
- Sayının ilk iki rakamı zaten 6 ve 4’tür (yani cepte 2 farklı rakam var).
- Eğer R = 6 veya R = 4 olursa, yeni bir rakam gelmez; farklı rakam sayısı 2 olur.
- Eğer R rakamı 4 veya 6 dışında bir rakam olursa, sayı 3 farklı rakamdan oluşur; yani değer 3 olur.
-
\ovalbox{4R3} ifadesi:
- Sayının bilinen iki rakamı 4 ve 3’tür (yine cepte 2 farklı rakam var).
- Eğer R = 4 veya R = 3 olursa, farklı rakam sayısı 2 olur.
- Eğer R rakamı 3 veya 4 dışında bir rakam olursa, farklı rakam sayısı 3 olur.
Adım 3 — Toplamı 5 Yapan Durumları Bulma
Her iki ifadenin de alabileceği değerler yalnızca 2 ya da 3 olabilir.
İki terimin toplamının 5 yapması için tek bir mantık vardır: Biri 2 iken diğeri mutlaka 3 olmalıdır.
-
1. Olasılık: \ovalbox{64R} = 2 ve \ovalbox{4R3} = 3 olsun.
- \ovalbox{64R} = 2 olması için R \in \{4, 6\} olmalıdır.
- \ovalbox{4R3} = 3 olması için R \notin \{3, 4\} olmalıdır (yani R, 4 olamaz).
- Buradan ortak sağlayan tek değer: R = 6 bulunur.
(Kontrol: R=6 için sayılar 646 ve 463 olur. Farklı rakam sayıları 2 + 3 = 5 sağlar.)
-
2. Olasılık: \ovalbox{64R} = 3 ve \ovalbox{4R3} = 2 olsun.
- \ovalbox{64R} = 3 olması için R \notin \{4, 6\} olmalıdır (yani R, 4 ya da 6 olamaz).
- \ovalbox{4R3} = 2 olması için R \in \{3, 4\} olmalıdır.
- R = 4 olamayacağına göre geriye kalan tek değer: R = 3 bulunur.
(Kontrol: R=3 için sayılar 643 ve 433 olur. Farklı rakam sayıları 3 + 2 = 5 sağlar.)
(Not: R = 4 seçilirse her iki ifade de 2 çıkar ve 2 + 2 = 4 \neq 5 olur, eşitlik sağlanmaz.)
Adım 4 — R Değerlerinin Toplanması
Eşitliği sağlayan farklı R rakamları 6 ve 3’tür:
6 + 3 = 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Küme Eleman Sayısı: Bir sayıda bir rakamın kaç kez tekrar ettiği değil, kaç çeşit rakam kullanıldığı önemlidir.
- Durum Analizi: Toplamı 5 olan iki parçanın (2 ve 3) alabileceği değerleri ayrı ayrı kurgulamak sonuca en hızlı ve hatasız götüren yöntemdir.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: R = 4 değerini her iki sayıda da ortak rakam olduğu için doğrudan geçerli saymak. (R = 4 yazıldığında \ovalbox{644} + \ovalbox{443} = 2 + 2 = 4 çıkar ve eşitlik bozulur.)
- Doğru Yaklaşım: R = 4 değerinin her iki tarafı aynı anda 2’ye düşürdüğünü görüp bu durumu elemek.
Bu mantığı daha iyi oturtmak için benzer bir sembollü soru üzerinde birlikte pratik yapmak ister misin?