TGGAZI CNİVERSİTESİ Teknoloji Fakaltes FHZI02 ARA SINAVL, 1O86z015 eksen zerinde bulunan bir P noktasindaki elektriksel

Üniversite
1

Soru:
TGGAZI CNİVERSİTESİ
Teknoloji Fakaltes
FHZI02 ARA SINAVL, 1O86z015
Ss Şekilde ylzeyindeki yGk yogunlugu1 yarnçapu a olan düzgln yokienmiş bir dikin merketinden geen d
eksen zerinde bulunan bir P noktasindaki elektriksel potansiyelini bulun T (Disk Gzerinde yrpl dr
kalnlkiı dairesel bir halka seçerek çözlm yapinz)
Vetert

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Ss şekilde yüzeyindeki yük yoğunluğu σ, yarıçapı a olan düzgün yüklenmiş bir diskin merkezinden geçen d eksen üzerinde bulunan bir P noktasındaki elektriksel potansiyelini bulunuz? (Disk üzerinde r yarıçaplı da kalınlıklı dairesel bir halka seçerek çözüm yapınız)

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Elektriksel potansiyel V süperpozisyon prensibine göre kısmi halkaların potansiyel toplamı olarak toplanır.
  • Yüzey yük yoğunluğu \sigma olan bir disk üzerinde, halkalar halinde ele alınan yüklerin potansiyel katkıları toplanır.
  • Potansiyel, yükten r uzaklıkta V = k \frac{q}{r} formülü ile hesaplanır (Burada k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Disk üzerinde halkalar oluştur

  • Disk yüzeyi, her biri kalınlığı dr olan sonsuz ince dairesel halkalara bölünür.
  • Her halkanın yarıçapı r ve kalınlığı dr vardır.

Adım 2 — Her halkanın yükünü bulun

  • Halkadaki yük dq = \sigma \times \text{halkanın alanı}.
  • Halkanın alanı dA = 2\pi r \, dr.
  • O halde dq = \sigma \cdot 2\pi r \, dr.

Adım 3 — P noktasına olan uzaklığı hesapla

  • P noktası diskin merkezi ekseni üzerinde, merkezden x mesafede.
  • Halkanın merkezi ile P noktası arasındaki uzaklık \sqrt{x^2 + r^2} olur.

Adım 4 — Her halkanın potansiyel katkısını hesapla

  • Her halkanın potansiyeli dV = k \frac{dq}{\sqrt{x^2 + r^2}}.
  • Açarsak:
dV = k \frac{\sigma \cdot 2\pi r \, dr}{\sqrt{x^2 + r^2}}

Adım 5 — Potansiyelleri toplayarak toplam potansiyeli bul

  • r 0’dan a’ya kadar değişir.
  • O halde:
V = \int_0^a \frac{k \sigma 2\pi r}{\sqrt{x^2 + r^2}} dr

Adım 6 — İntegrali çöz

  • k, \sigma, ve 2\pi sabit olduğu için integral dışına alınır:
V = 2\pi k \sigma \int_0^a \frac{r}{\sqrt{x^2 + r^2}} dr
  • Bu integrali u = x^2 + r^2 değişkeni ile çözebiliriz:
du = 2r\, dr \Rightarrow r\, dr = \frac{du}{2}
  • İntagrali:
\int_0^a \frac{r}{\sqrt{x^2 + r^2}} dr = \frac{1}{2} \int_{u=x^2}^{x^2 + a^2} u^{-1/2} du = \frac{1}{2} [2 u^{1/2}]_{x^2}^{x^2 + a^2} = \sqrt{x^2 + a^2} - |x|

Adım 7 — Sonuç ifadesi

V = 2 \pi k \sigma \left( \sqrt{x^2 + a^2} - |x| \right)

:white_check_mark: CEVAP:
Disk merkezinden eksen üzerinde x uzaklıkta bulunan P noktasındaki elektriksel potansiyel:

V = 2 \pi k \sigma \left( \sqrt{x^2 + a^2} - |x| \right)

Burada,

  • \sigma yüzey yük yoğunluğu,
  • a disk yarıçapı,
  • x eksen üzerindeki P noktasının diskin merkezine uzaklığı,
  • k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Şekilde yüzeyindeki yük yoğunluğu σ, yarıçapı a olan düzgün yüklenmiş bir diskin merkezinden geçen dik eksen üzerinde bulunan bir P noktasındaki elektriksel potansiyelini bulunuz (Disk üzerinde r yarıçaplı dairesel bir halka seçerek çözüm yapınız)

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Coulomb potansiyeli: $$V=\dfrac{k,q}{r}$$
Sabit: $$k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$$

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Halka elemanının yükü

Halka elemanının alanı:

dA=2\pi r\,dr

Halka elemanının yükü:

dq=\sigma\,dA
dq=\sigma\cdot 2\pi r\,dr

Adım 2 — Halka elemanının potansiyel katkısı (P noktasına uzaklık \sqrt{r^2+z^2})

Halka elemanının potansiyel katkısı:

dV=\dfrac{k\,dq}{\sqrt{r^2+z^2}}

Yerine koyma:

dV=\dfrac{k\;\sigma\;2\pi r\,dr}{\sqrt{r^2+z^2}}

Adım 3 — Tüm disk için entegrasyon (r=0’dan r=a’ya)

Kurulum:

V=\int_{0}^{a} dV
V=\int_{0}^{a} \dfrac{k\;\sigma\;2\pi r}{\sqrt{r^2+z^2}}\,dr

Adım 4 — İntegrali çözme (u-substitusyonu)

Sabitleri öne al:

V=k\;\sigma\;2\pi\int_{0}^{a}\dfrac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}\,dr

Değişken değişimi yap:

u=r^2+z^2
du=2r\,dr
r\,dr=\dfrac{du}{2}

Sınırlar:

r=0\Rightarrow u=z^2
r=a\Rightarrow u=a^2+z^2

Yerine koyma:

V=k\;\sigma\;2\pi\int_{u=z^2}^{u=a^2+z^2}\dfrac{1}{\sqrt{u}}\cdot\dfrac{du}{2}

Sabitleri düzenle:

V=k\;\sigma\;\pi\int_{z^2}^{a^2+z^2} u^{-1/2}\,du

İntegrali al:

V=k\;\sigma\;\pi\left[ 2u^{1/2} \right]_{z^2}^{a^2+z^2}

Sınırları uygula:

V=k\;\sigma\;\pi\cdot 2\left(\sqrt{a^2+z^2}-\sqrt{z^2}\right)

İfadesi sadeleştir:

V=2\pi k\,\sigma\left(\sqrt{a^2+z^2}-|z|\right)

(Genelde z>0 kabul edilir, bu durumda |z|=z.)

:white_check_mark: CEVAP:

\boxed{\,V(z)=2\pi k\,\sigma\left(\sqrt{a^2+z^2}-z\right)\,}

(İsterseniz k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} kullanılarak alternatif biçimi elde edilir:)

V(z)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{a^2+z^2}-z\right)

TEMEL KAVRAMLAR:

  • Coulomb potansiyeli
    Tanım: Nokta yükün oluşturduğu potansiyel V=kq/r.
    Bu problemde: Her küçük halka elemanı nokta yük kabul edilip toplam potansiyel entegrallenir.

  • Yüzey yük yoğunluğu \sigma
    Tanım: Birim alandaki yük miktarıdır.
    Bu problemde: Diskin her yüzey elemaninin yükü dq=\sigma\,dA ile bulunur.

SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hata: dq’yi yanlış almak
    Yanlış: dq=\sigma\,dr gibi alanı ihmal etmek.
    Doğru: dq=\sigma\cdot 2\pi r\,dr.
    Neden yanlış: Yüzey elemanının çevresi 2\pi r ile çarpılması gerekir.
    Düzeltme: Her zaman alan ifadesini doğru yaz.

  • :cross_mark: Hata: İntegral sınırlarını yanlış çevirmek
    Yanlış: u-substitusyonunda sınırları değiştirmemek.
    Doğru: r sınırlarını u cinsine çevirip uygula.
    Neden yanlış: Sınırlar değişmediği halde u ile entegrasyon hatalı olur.
    Düzeltme: Her zaman yeni değişkenin sınırlarını hesapla.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?