Terimleri pozitif gerçel sayı olan (a_{n}) aritmetik dizisi ve (b_{n}) geometrik dizisi için
b_{n} = a_{n} \cdot 3^{n-1}
b_{2} = b_{1} + 12
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre, a_{2} + b_{2} toplamı kaçtır?
A) 18
B) 24
C) 30
D) 36
E) 42
Aritmetik ve Geometrik Dizi Özellikleri ile Terim Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: (a_n) aritmetik dizisinde ardışık terimler arasındaki fark sabit, (b_n) geometrik dizisinde ise ardışık terimlerin oranı sabittir. Bir geometrik dizide ardışık terimler arasında b_{n+1}^2 = b_n \cdot b_{n+2} bağıntısı geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Aritmetik Dizinin Ortak Farkını Belirleme
Soruda verilen b_n = a_n \cdot 3^{n-1} eşitliğini geometrik dizinin b_2^2 = b_1 \cdot b_3 kuralında yerine yazalım:
b_1 = a_1 \cdot 3^0 = a_1
b_2 = a_2 \cdot 3^1 = 3a_2
b_3 = a_3 \cdot 3^2 = 9a_3
Geometrik dizi tanımından:
(3a_2)^2 = a_1 \cdot 9a_3 \implies 9a_2^2 = 9a_1 a_3 \implies a_2^2 = a_1 a_3
Aritmetik dizilerde a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} olduğundan:
\left(\frac{a_1 + a_3}{2}\right)^2 = a_1 a_3 \implies (a_1 - a_3)^2 = 0 \implies a_1 = a_2 = a_3
Bu durum, ortak farkı d = 0 olan sabit bir diziye karşılık gelir. Dolayısıyla tüm terimler birbirine eşittir: a_n = a_1.
Adım 2 — Verilen Eşitlikten a_1 Değerini Bulma
a_1 = a_2 = a olsun. Bu durumda b_1 = a ve b_2 = 3a olur. Soruda verilen b_2 = b_1 + 12 eşitliğini çözelim:
3a = a + 12 \implies 2a = 12 \implies a = 6
Adım 3 — İstenen a_2 + b_2 Toplamını Hesaplama
a = 6 olduğuna göre:
a_2 = 6
b_2 = 3 \cdot 6 = 18
a_2 + b_2 = 6 + 18 = 24
CEVAP: B) 24 (a_2 + b_2 = 24)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir dizinin hem aritmetik hem geometrik dizi olabilmesi yalnızca terimlerinin birbirine eşit olduğu (sabit dizi) durumlarda mümkündür. b_n dizisindeki 3^{n-1} çarpanı geometrik diziyi tek başına oluşturduğundan, katsayısı olan a_n’in sabit bir dizi olması zorunludur.