Terim toplamı formülü

Genel Kültür
1

terim toplamı formülü

2

Terim toplamı formülü nedir?

Answer: Aşağıda en sık kullanılan terim toplamı formüllerini, çıkarımlarını, örnek çözümlerini ve kısa bir özet tablosunu bulacaksınız.

İçindekiler

  1. Aritmetik (Toplam) Dizi
  2. Geometrik Dizi (Sonlu)
  3. Geometrik Dizi (Sonsuz)
  4. Örnekler — Adım adım çözümler
  5. Özet Tablosu

1. Aritmetik dizi — Toplam formülü

  • Bir aritmetik dizide her terim bir önceki terime sabit bir fark d eklenerek elde edilir. İlk terime a_1 diyelim.
  • n teriminin toplamına S_n dersek, iki yaygın ifade vardır:

  1. İlk ve son terimle ifade:
    S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

  2. İlk terim ve ortak farkla ifade:
    S_n = \frac{n}{2}\big(2a_1 + (n-1)d\big)

  • Kısa ispat (fikir): Terimleri önden ve arkadan toplarsınız:
    S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n ve tersinden
    S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 ,
    toplarsanız her sütunda a_1 + a_n olur ve toplam 2S_n = n(a_1 + a_n) çıkar.

2. Geometrik dizi — Sonlu toplam

  • Bir geometrik dizide her terim bir önceki terimin r ile çarpımı şeklindedir. İlk terim a_1 olsun.

  • İlk n terimin toplamı için (ve r \neq 1):
    S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \dots + a_1 r^{n-1} = a_1\frac{1 - r^n}{1 - r}

  • İspat (kısa): S_n = a_1(1 + r + \dots + r^{n-1}). rS_n = a_1(r + r^2 + \dots + r^n). Çıkarınca (1-r)S_n = a_1(1 - r^n) olur.

  • Özel durum: r=1 ise S_n = n a_1 olur.

3. Geometrik dizi — Sonsuz toplam

  • Eğer |r| < 1 ise, r^n \to 0 olduğundan sonlu toplam formülünden limit alınır:
    S_\infty = \lim_{n\to\infty} a_1\frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{a_1}{1 - r}, \qquad (|r| < 1)
  • Eğer |r| \ge 1 ise sonsuz toplam yakınsak değildir (toplam diverge eder).

4. Örnekler — Adım adım çözümler

Örnek 1 — Aritmetik:
Soru: 2, 5, 8, \dots dizisinin ilk 20 teriminin toplamı nedir?
Çözüm:

  • a_1 = 2, ortak fark d = 3. n = 20.
  • Formül: S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d).
    S_{20} = \frac{20}{2}\big(2\cdot 2 + (20-1)\cdot 3\big) = 10(4 + 57) = 10 \cdot 61 = 610.

Örnek 2 — Geometrik (sonlu):
Soru: 3, 6, 12, 24, \dots dizisinin ilk 6 teriminin toplamı nedir?
Çözüm:

  • a_1 = 3, r = 2, n = 6.
  • Formül: S_n = a_1\frac{1 - r^n}{1 - r}.
    S_6 = 3\cdot \frac{1 - 2^6}{1 - 2} = 3\cdot \frac{1 - 64}{-1} = 3\cdot 63 = 189.

Örnek 3 — Geometrik (sonsuz):
Soru: İlk terimi 5 ve r = \tfrac{1}{3} olan geometrik serinin toplamı nedir?
Çözüm:

  • |r| = \tfrac{1}{3} < 1 olduğu için yakınsar.
    S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{5}{1 - \tfrac{1}{3}} = \frac{5}{\tfrac{2}{3}} = \frac{15}{2} = 7{,}5.

5. Özet Tablosu

Seri tipi Genel terim Toplam formülü Koşul / Not
Aritmetik a_n = a_1 + (n-1)d \displaystyle S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\big(2a_1 + (n-1)d\big) —
Geometrik (sonlu) a_n = a_1 r^{n-1} \displaystyle S_n = a_1\frac{1 - r^n}{1 - r} (r\neq 1) r=1 \Rightarrow S_n = n a_1
Geometrik (sonsuz) a_n = a_1 r^{n-1} \displaystyle S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} Yakınsaklık için $

Önemli noktalar:

  • Aritmetik dizilerde terimler toplanırken ortalama terim (ilk + son)/2 ile çarpmak mantıklı bir kestirimdir.
  • Geometrik dizilerde çarpan r belirleyicidir; |r|<1 olduğunda sonsuz toplam alınabilir.
  • Formülleri kullanırken a_1, r, d ve n değerlerini doğru belirlemeye dikkat edin.

Özet: Aradığınız “terim toplamı formülü” genellikle aritmetik için S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) ve geometrik için S_n = a_1\frac{1 - r^n}{1 - r} şeklindedir; sonsuz geometrik seriler için ise S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} (eğer |r|<1 ise).

Kolay gelsin — başka bir örnek veya adım adım açıklama istersen hemen yaz! @Dersnotu