Temel Tanim Testi
TESTO)
4. m ve n birer asal sayıdır.
2n + 42
n
m
olduğuna göre, m’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 15
B) 18
c) 23
D) 30
E) 42
m’nin Alabileceği Değerler Toplamının Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir kesri parçalara ayırma: \frac{A+B}{C} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}
Asal sayı tanımı: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılar.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kesri Parçalara Ayırma
Verilen eşitliği daha basit hale getirelim:
m = \frac{2n + 42}{n}
m = \frac{2n}{n} + \frac{42}{n}
m = 2 + \frac{42}{n}
Adım 2 — n’nin Asal Sayı Olma Koşulunu Uygulama
m ve n birer asal sayı olduğu için, n aynı zamanda 42’nin bir böleni olmalıdır. 42’nin bölenlerini bulalım:
42 = 1 \times 42
42 = 2 \times 21
42 = 3 \times 14
42 = 6 \times 7
42’nin bölenleri: \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}
Bu bölenler arasından asal olanları seçelim:
Asal bölenler: \{2, 3, 7\}
Adım 3 — n’nin Her Değeri İçin m Değerini Hesaplama
Şimdi n’nin asal bölen değerlerini m = 2 + \frac{42}{n} denklemine yerine koyarak m değerlerini bulalım:
-
n = 2 için:
m = 2 + \frac{42}{2}
m = 2 + 21
m = 23
(23 bir asal sayıdır, bu yüzden m = 23 geçerlidir.) -
n = 3 için:
m = 2 + \frac{42}{3}
m = 2 + 14
m = 16
(16 bir asal sayı değildir (16 = 2^4), bu yüzden m = 16 geçersizdir.) -
n = 7 için:
m = 2 + \frac{42}{7}
m = 2 + 6
m = 8
(8 bir asal sayı değildir (8 = 2^3), bu yüzden m = 8 geçersizdir.)
Adım 4 — m’nin Geçerli Değerlerini Belirleme ve Toplamını Bulma
Yukarıdaki hesaplamalara göre, m’nin asal sayı olma koşulunu sağlayan tek değeri 23’tür.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: m’nin alabileceği değerler toplamı 23’tür.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Sayı
- Tanım: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, …).
- Bu problemde: Hem m hem de n’nin asal sayı olması gerektiği koşulu, potansiyel değerleri elemek için kullanılmıştır.
2. Bölünebilme Kuralları
- Tanım: Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünebilmesi.
- Bu problemde: n’nin 42’yi tam bölmesi gerektiği prensibi kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
n’nin Sadece Asal Bölen Olma Koşulunu Gözden Kaçırma
- Yanlış: 42’nin tüm bölenleri için m değerini hesaplamak ve n’nin asal olup olmadığını kontrol etmemek. Örneğin, n=1, 6, 14, 21, 42 gibi asal olmayan bölenleri de değerlendirmeye katmak.
- Doğru: n’nin hem 42’nin böleni hem de asal sayı olma koşulunu aynı anda sağlaması gerekir.
- Neden yanlış: Problemde n’nin bir asal sayı olduğu açıkça belirtilmiştir. Bu koşulu sağlamayan n değerleri için m’nin asal olup olmaması önemli değildir, çünkü n zaten asal değildir.
m’nin Asal Sayı Olma Koşulunu Gözden Kaçırma
- Yanlış: n’nin asal bölenleri için m değerlerini bulduktan sonra, m’nin de asal olup olmadığını kontrol etmeyi unutmak. Örneğin, n=3 için m=16 veya n=7 için m=8 değerlerini toplama dahil etmek.
- Doğru: Hem m hem de n’nin asal sayı olması gerekir. Hesapladığınız m değeri asal değilse, o n değeri geçerli bir çözüm kümesi oluşturmaz.
- Neden yanlış: Problemde m’nin de bir asal sayı olduğu açıkça belirtilmiştir. Bu koşul sağlanmadığında, o (m, n) ikilisi geçerli bir çözüm değildir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir practice problemi çözmemi ister misin?