Temel Tanım Testi
TEST
(02)
10. Defne aşağıda verilen toplama işlemini hesaplamak için
hesap makinesiyle işlem yapmaya başlıyor.
1+2+3 t1. + 24 = T 2udo
Defne, hesaplama sirasında tam sayılardan bir tanesini
toplamak yerine çıkariyor ve sonucu 270 buluyor.
Buna göre, Defne hangi sayıda çıkarma işlemi yapmiştır?
A) 10
B) 13
c) 15
D) 18
E) 20
Defne’nin Hangi Sayıda Çıkarma İşlemi Yaptığını Bulma
KULLANILAN FORMÜL:
Ardışık tam sayıların toplamı için Gauss formülü:
1 + 2 + \dots + n = \frac{n \times (n+1)}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Toplamın Doğru Değerini Hesaplama
Defne’nin başlangıçta hesaplamak istediği 1’den 24’e kadar olan tam sayıların toplamını bulalım. Burada n = 24.
T = \frac{24 \times (24+1)}{2}
T = \frac{24 \times 25}{2}
T = 12 \times 25
T = 300
Adım 2 — Hata Miktarını Belirleme
Defne, bu toplamı yaparken bir sayıyı toplamak yerine çıkarmış ve sonucu 270 bulmuş. Doğru toplam 300 iken, hatalı toplam 270 olduğuna göre, aradaki farkı bulalım:
Fark = \text{Doğru Toplam} - \text{Hatalı Toplam}
Fark = 300 - 270
Fark = 30
Adım 3 — Çıkarılan Sayıyı Bulma
Defne bir x sayısını toplamak yerine çıkarmış. Yani, T - x - x = 270 gibi bir durum oluşmuştur. Çünkü x sayısını toplaması gerekirken çıkarması, doğru toplamdan x’i bir kez eksiltmiş, ayrıca toplanması gereken x de eklenmediği için bir x daha eksilmiştir. Dolayısıyla, doğru toplamdan iki katı çıkarılan sayı kadar sapma olmuştur.
2 \times x = Fark
2 \times x = 30
x = \frac{30}{2}
x = 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Defne 15 sayısında çıkarma işlemi yapmıştır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ardışık Tam Sayılar Toplamı Formülü
- Tanım: 1’den başlayan ardışık tam sayıların toplamını hızlıca bulmak için kullanılan \frac{n(n+1)}{2} formülüdür.
- Bu problemde: Defne’nin hesaplaması gereken orijinal toplamı bulmak için kullanıldı.
2. Hata Analizi
- Tanım: Yapılan bir hatanın, doğru sonuçtan ne kadar saptığını ve bu sapmanın nedenini inceleme sürecidir.
- Bu problemde: Yanlışlıkla çıkarma işleminin doğru toplam üzerindeki etkisini (2x) belirlemek için kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tek Çıkarma Yanılgısı
- Yanlış: Öğrenci, çıkarılan sayının toplamı sadece bir kez etkilediğini düşünerek farkı doğrudan çıkarılan sayıya eşitleyebilir (yani x = 30 diyebilir).
- Doğru: Bir sayıyı toplamak yerine çıkarmak, doğru toplamı hem o sayının kendisi kadar eksiltir (toplanmadığı için), hem de yanlışlıkla çıkarıldığı için bir kez daha eksiltir. Bu yüzden toplam sapma miktarı çıkarılan sayının iki katıdır (2x).
- Neden yanlış: Çıkarma işlemi, beklenen eklemeyi iptal etmekle kalmaz, aynı zamanda fazladan bir eksiltme de yapar.
Benzer bir alıştırma problemi çözmemi ister misin?