Temel Tanim Testi
TEST
12. a, b ve c ardışık tam sayılar olmak üzere,
a<b<c
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre,
(1)-(1*):(1*)
eşitliğini sağlayana sayısı kaçtır?
A)7
B) 8
c) 9
D) 10
E)11
Ardışık Sayılarda Rasyonel İfadeler ve Sadeleştirme Sorusu
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- Ardışık Tam Sayı İlişkisi: a < b < c ardışık tam sayılar ise b = a + 1 ve c = a + 2 olur.
- Rasyonel İfadelerde Toplama: 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}
- Teleskopik Çarpım Sadeleştirmesi: Çarpanlar halindeki rasyonel ifadelerde pay ve paydadaki ortak terimler birbirini götürür.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Parantez İçlerini Bileşik Kesre Çevirme
Denklemdeki parantez içindeki toplama işlemlerini gerçekleştirelim:
- 1 + \frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}
- 1 + \frac{1}{b} = \frac{b+1}{b}
- 1 + \frac{1}{c} = \frac{c+1}{c}
Eşitliği bu ifadelerle yeniden yazalım:
\left(\frac{a+1}{a}\right) \cdot \left(\frac{b+1}{b}\right) \cdot \left(\frac{c+1}{c}\right) = \frac{4}{3}
Adım 2 — Ardışık Sayı Değerlerini Yerine Yazma ve Sadeleştirme
a, b, c sayıları ardışık olduğu için b ve c değişkenlerini a cinsinden yazalım:
- b = a + 1
- c = a + 2
Bu eşitlikleri kesirlerde yerine yerleştirelim:
- İkinci kesrin payı: b + 1 = (a + 1) + 1 = a + 2
- İkinci kesrin paydası: b = a + 1
- Üçüncü kesrin payı: c + 1 = (a + 2) + 1 = a + 3
- Üçüncü kesrin paydası: c = a + 2
Çarpımı a türünden yazalım:
\left(\frac{a+1}{a}\right) \cdot \left(\frac{a+2}{a+1}\right) \cdot \left(\frac{a+3}{a+2}\right) = \frac{4}{3}
Birinci kesrin payındaki (a+1) ile ikinci kesrin paydasındaki (a+1) ve ikinci kesrin payındaki (a+2) ile üçüncü kesrin paydasındaki (a+2) çapraz olarak sadeleşir:
\frac{\cancel{a+1}}{a} \cdot \frac{\cancel{a+2}}{\cancel{a+1}} \cdot \frac{a+3}{\cancel{a+2}} = \frac{4}{3}
Sadeleştirme sonucunda elde edilen denklem:
\frac{a+3}{a} = \frac{4}{3}
Adım 3 — Denklem Çözümü ile a Değerini Bulma
İçler dışlar çarpımı yaparak a değerini hesaplayalım:
3 \cdot (a + 3) = 4 \cdot a
3a + 9 = 4a
4a - 3a = 9
a = 9
Adım 4 — Sonucu Doğrulama
a = 9 ise ardışık sayılarımız a = 9, b = 10, c = 11 olur.
İfadede yerine koyalım:
\left(1 + \frac{1}{9}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{10}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{11}\right) = \frac{10}{9} \cdot \frac{11}{10} \cdot \frac{12}{11} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
Eşitlik sağlandığı için sonucumuz doğrudur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ardışık Tam Sayılar
- Tanım: Aralarında 1 fark bulunan tam sayılar dizisidir.
- Bu problemde: a < b < c sıralamasına göre b = a+1 ve c = a+2 olarak kullanılmıştır.
2. Teleskopik Çarpım
- Tanım: Yan yana çarpılan rasyonel ifadelerin pay ve paydalarının birbirini zincirleme şekilde sadeleştirmesidir.
- Bu problemde: Aradaki ortak terimler gitmiş, yalnızca ilk terimin paydası (a) ile son terimin payı (a+3) kalmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
a, b, c İçin Rastgele Sayı Değerleri Vermek
- Yanlış: Şıklardan giderek veya b ve c değerlerini eşitlemeden doğrudan çarpmaya çalışmak.
- Doğru: Değişkenleri tek bir bilinmeyen (a) cinsine dönüştürüp genel sadeleştirmeyi yapmak.
- Neden Yanlış: İşlem karmaşasına ve zaman kaybına yol açar.
Ardışık sayılar ve rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesiyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?