Temel Tanim Testi
TEST
(02)
12. K sayıIsı iki asalın çarpimı biçiminde yazilan bir sayı olup
• 22\cdot K sayısının üç asal böleni
vardır.
Buna göre, iki basamaklt K sayisınin alacağı değerler
toplamı kaçtır?
A) 88
B) 98
c) 142
D) 148
E) 162
22·K sayısının asal bölenleri ve iki basamaklı K sayıları
KULLANILAN FORMÜL VE İLKELER:
- Bir sayının asal çarpanları, o sayının asal bölenlerini oluşturur.
- Asal bölen sayısı, sayıyı oluşturan farklı asal çarpanların sayısıdır.
- K sayısı iki asalın çarpımı şeklinde yazılabilir: K = p \cdot q (burada p ve q farklı asal sayılardır).
- İki basamaklı sayılar 10 ile 99 arasındadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — K sayısının yapısını belirleme
Problem, K sayısının iki farklı asal sayının çarpımı şeklinde olduğunu belirtiyor. Bu durumda K = p \cdot q formundadır, burada p ve q asal sayılardır ve p \neq q.
Adım 2 — 22 \cdot K sayısının asal bölenlerini inceleme
22 \cdot K = 2 \cdot 11 \cdot p \cdot q ifadesine sahibiz. Bu sayının üç asal böleni olduğu söyleniyor.
Zaten 2 ve 11 asal çarpanları mevcuttur. Bu durumda, p ve q sayılarından biri 2 veya 11 olmalı, diğeri ise farklı bir asal olmalıdır.
Durum 1: p=2 ise K = 2 \cdot q.
22 \cdot K = 2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot q = 2^2 \cdot 11 \cdot q.
Bu durumda asal bölenler \{2, 11, q\} olur.
Üç asal bölen olması için q, 2 veya 11 olmamalıdır. Yani q \neq 2 ve q \neq 11.
Durum 2: p=11 ise K = 11 \cdot q.
22 \cdot K = 2 \cdot 11 \cdot 11 \cdot q = 2 \cdot 11^2 \cdot q.
Bu durumda asal bölenler \{2, 11, q\} olur.
Üç asal bölen olması için q, 2 veya 11 olmamalıdır. Yani q \neq 2 ve q \neq 11.
Adım 3 — 28 \cdot K sayısının asal bölenlerini inceleme
28 \cdot K = 2^2 \cdot 7 \cdot K ifadesine sahibiz. Bu sayının dört asal böleni olduğu söyleniyor.
Zaten 2 ve 7 asal çarpanları mevcuttur.
Şimdi Durum 1 ve Durum 2’yi 28 \cdot K için ayrı ayrı inceleyelim:
Durum 1 devamı (K = 2 \cdot q):
28 \cdot K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot q) = 2^3 \cdot 7 \cdot q.
Bu sayının asal bölenleri \{2, 7, q\} olur. Dört asal bölen olması için, bu kümede bir eleman daha olmalıdır. Bu, q asal sayısının 2 veya 7 olmaması gerektiği ve ayrıca p ve q dışındaki bir asalın da K içinde yer alması gerektiği anlamına gelir. Ancak K yalnızca iki asalın çarpımıdır (2 ve q).
Eğer q farklı bir asal ise, 28 \cdot K sayısının asal bölenleri 2, 7, q olur. Bunlar üç adettir. Soruda dört asal bölen istendiği için bu durum çelişki yaratır. Bu nedenle K formülü 2 \cdot q veya 11 \cdot q olamaz, çünkü 2 veya 7 asalları K sayısının çarpanlarından biri olsa bile $28 \cdot K$nın 4 asal böleni olmaz.
Görünüşe göre, soru metninde yer alan “28 • K sayısının dört asal böleni” bilgisi ile gönderilen görseldeki metin arasında bir fark var. Gönderilen metinde sadece “22 • K sayısının üç asal böleni” ifadesi yer alıyor, “28 • K” ifadesi yok. Görselde ise bu ifade de yer alıyor.
Kullanıcının gönderdiği metni temel alarak ilerleyelim. Yani sadece “22 \cdot K sayısının üç asal böleni vardır” koşulunu ele alacağız.
Adım 2 (Yeniden) — 22 \cdot K sayısının asal bölenlerini inceleme (sadece ilk koşul)
22 \cdot K = 2 \cdot 11 \cdot K.
K sayısı iki asalın çarpımıdır: K = p \cdot q (p, q farklı asal sayılar).
22 \cdot K = 2 \cdot 11 \cdot p \cdot q. Bu sayının 3 asal böleni olması gerekiyor.
Buradan çıkan asal bölenler kümesi \{2, 11, p, q\}'dur. Bu kümenin 3 elemanlı olması için p veya q 'dan birinin 2 olması ve diğerinin 11 olması gerekiyor. Ancak p ve q farklı asal sayılar olduğu için bu mümkün değil. Ya da p veya q’dan biri 2 veya 11 olmalı ve diğer asal sayı da kümenin içinde zaten bulunan bir asal sayı olmalı.
Öyleyse, K sayısının asal çarpanları p ve q olmak üzere, 22 \cdot K sayısının asal çarpanları 2, 11, p, q olur. Bu kümenin 3 elemanlı olması için p ve q asallarından ikisinin de 2 veya 11 olması gerekir.
Yani ya p=2 ve q \in \{2, 11\} (ama q \neq 2 çünkü farklı asallar) veya p=11 ve q \in \{2, 11\} (ama q \neq 11).
Bu durumda, K = p \cdot q olduğundan:
- Eğer p=2 ise q asal sayısı 11 olmalıdır (çünkü K’nın sadece iki asal çarpanı var ve 22 \cdot K’nın 3 asal böleni var). Bu durumda K = 2 \cdot 11 = 22.
22 \cdot K = 2 \cdot 11 \cdot (2 \cdot 11) = 2^2 \cdot 11^2. Asal bölenleri \{2, 11\}'dir. Bu 2 asal bölen demektir, 3 değil. Bu durum da uygun değil.
Soru metninin doğru yorumu şudur: 22 \cdot K sayısının asal bölenleri kümesi 3 elemanlıdır.
22 = 2 \cdot 11.
K = p \cdot q (iki farklı asal).
Asal bölenler kümesi \{2, 11, p, q\}. Bu kümenin 3 elemanı olması için:
- Durum A: p=2 ve q farklı bir asal olmalı, q \neq 11. Bu durumda asal bölenler \{2, 11, q\}. Bu üç adettir. K = 2 \cdot q.
- Durum B: p=11 ve q farklı bir asal olmalı, q \neq 2. Bu durumda asal bölenler \{2, 11, q\}. Bu üç adettir. K = 11 \cdot q.
Şimdi bu durumlarda iki basamaklı K sayılarını bulalım:
Durum A: K = 2 \cdot q (burada q asal ve q \neq 2, q \neq 11)
K iki basamaklı olmalı (10 \le K \le 99).
10 \le 2 \cdot q \le 99
5 \le q \le 49.5
q için uygun asal değerler (q \neq 2, q \neq 11):
- q=3 (ancak 5 \le q olduğu için bu olmaz)
- q=5 \Rightarrow K = 2 \cdot 5 = 10 (Uygun)
- q=7 \Rightarrow K = 2 \cdot 7 = 14 (Uygun)
- q=13 \Rightarrow K = 2 \cdot 13 = 26 (Uygun)
- q=17 \Rightarrow K = 2 \cdot 17 = 34 (Uygun)
- q=19 \Rightarrow K = 2 \cdot 19 = 38 (Uygun)
- q=23 \Rightarrow K = 2 \cdot 23 = 46 (Uygun)
- q=29 \Rightarrow K = 2 \cdot 29 = 58 (Uygun)
- q=31 \Rightarrow K = 2 \cdot 31 = 62 (Uygun)
- q=37 \Rightarrow K = 2 \cdot 37 = 74 (Uygun)
- q=41 \Rightarrow K = 2 \cdot 41 = 82 (Uygun)
- q=43 \Rightarrow K = 2 \cdot 43 = 86 (Uygun)
- q=47 \Rightarrow K = 2 \cdot 47 = 94 (Uygun)
Durum B: K = 11 \cdot q (burada q asal ve q \neq 2, q \neq 11)
K iki basamaklı olmalı (10 \le K \le 99).
10 \le 11 \cdot q \le 99
0.909 \le q \le 9
q için uygun asal değerler (q \neq 2, q \neq 11):
- q=3 \Rightarrow K = 11 \cdot 3 = 33 (Uygun)
- q=5 \Rightarrow K = 11 \cdot 5 = 55 (Uygun)
- q=7 \Rightarrow K = 11 \cdot 7 = 77 (Uygun)
Adım 4 — Uygun K değerlerinin toplamını bulma
Kabul edilebilir K değerleri:
\{10, 14, 26, 34, 38, 46, 58, 62, 74, 82, 86, 94\} (Durum A’dan)
\{33, 55, 77\} (Durum B’den)
Toplam = (10+14+26+34+38+46+58+62+74+82+86+94) + (33+55+77)
Toplam = 624 + 165 = 789.
Bu sonuç, seçeneklerde mevcut değildir. Bu durum, ya sorunun yorumunda bir hata olduğunu ya da eksik/yanlış bilgi verildiğini gösterir.
Sorunun orijinal görselinde “• 28 \cdot K sayısının dört asal böleni” ifadesi de yer almaktadır. Bu ek koşulu da dikkate alarak yeniden inceleyelim.
Adım 3 (Yeniden, Görseldeki İkinci Koşul ile) — 28 \cdot K sayısının asal bölenlerini inceleme
28 = 2^2 \cdot 7.
28 \cdot K = 2^2 \cdot 7 \cdot p \cdot q.
Bu sayının 4 asal böleni olduğu söyleniyor. Asal bölenler kümesi \{2, 7, p, q\} olmalıdır.
Bu kümenin 4 elemanlı olması için p ve q asal sayılarından hiçbiri 2 veya 7 olmamalıdır ve p \neq q olmalıdır.
Yani, p \neq 2, p \neq 7, q \neq 2, q \neq 7 ve p \neq q.
Şimdi Durum A ve Durum B’yi bu yeni koşulla birleştirelim:
Durum A: K = 2 \cdot q (burada q asal ve q \neq 2, q \neq 11)
Ayrıca 28 \cdot K için p, q asalları 2 veya 7 olmamalıydı.
K = 2 \cdot q olduğunda, p=2 oluyor.
28 \cdot K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot q) = 2^3 \cdot 7 \cdot q.
Bu ifadenin asal bölenleri \{2, 7, q\} olur. Bu kümenin 3 elemanı vardır. Ancak bizden 4 asal bölen isteniyor.
Dolayısıyla, K = 2 \cdot q durumu bu ikinci koşulu sağlamaz.
(Bu nedenle Durum A’dan gelen tüm K değerleri elenir)
Durum B: K = 11 \cdot q (burada q asal ve q \neq 2, q \neq 11)
K = 11 \cdot q olduğunda, p=11 oluyor.
28 \cdot K = 2^2 \cdot 7 \cdot (11 \cdot q) = 2^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot q.
Bu ifadenin asal bölenleri \{2, 7, 11, q\} olur.
Bu kümenin 4 elemanı olması için q asalının 2, 7 veya 11 olmaması gerekir.
Bu da bizim başlangıçta q \neq 2, q \neq 11 koşulunu zaten sağlıyor. Ek olarak q \neq 7 olmalı.
Yani K = 11 \cdot q ve q asal, q \neq 2, q \neq 7, q \neq 11.
K iki basamaklı olmalı (10 \le K \le 99).
10 \le 11 \cdot q \le 99
0.909 \le q \le 9
q için uygun asal değerler (q \neq 2, q \neq 7, q \neq 11):
- q=3 \Rightarrow K = 11 \cdot 3 = 33 (Uygun)
- q=5 \Rightarrow K = 11 \cdot 5 = 55 (Uygun)
- q=7 olamaz.
Bu durumda tek uygun K değerleri 33 ve 55 kalır.
Bu değerlerin toplamı 33 + 55 = 88.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 88
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazma işlemidir. Örneğin, 22 = 2 \cdot 11.
- Bu problemde: 22 \cdot K ve 28 \cdot K sayılarının asal bölenlerini belirlemek için kullanıldı.
2. Asal Bölen
- Tanım: Bir sayıyı tam bölen asal sayılardır.
- Bu problemde: Belirli bir ifadenin kaç farklı asal böleni olduğunu bulmak için kullanıldı ve bu sayıya göre K değerleri belirlendi.
3. İki Basamaklı Sayılar
- Tanım: 10’dan 99’a kadar olan tam sayılardır.
- Bu problemde: K sayısının alabileceği değerleri sınırlayan koşuldur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Asal bölen sayısını yanlış sayma
- Yanlış: 22 \cdot K için K=2 \cdot 11 alınırsa, asal bölenleri \{2, 11, 2, 11\} olarak değil, \{2, 11\} olarak saymak gerekir. Tekrarlayan asallar bir kez sayılır.
- Doğru: Asal bölenler kümesi, tüm farklı asal çarpanları içerir.
- Neden yanlış: Küme tanımı gereği, elemanlar tekrar etmez.
Koşulları eksik uygulama
- Yanlış: Sadece 22 \cdot K koşulunu dikkate alıp 28 \cdot K koşulunu göz ardı etmek, hatalı K değerleri toplamına yol açar.
- Doğru: Problemin verdiği tüm koşullar, belirlenen K değerlerini filtrelemek için eksiksiz kullanılmalıdır.
- Neden yanlış: Eksik koşul kullanımı, problem setinin doğru çözümünü vermez.
Bu konuyu pekiştirmek için K sayısının üç asalın çarpımı olduğu benzer bir problem çözmemi ister misin?