TEMEL KAVRAMLAR 2
ÖSYM
TARZ
TEST
abc üç basamaklı bir sayi olmak üzere
(a- c)! = b!
şartinı sağlayan abc sayılarına “Faktöriyel Sayısı” denir.
Örneğin; (3 - 1)! = 2! olduğundan 321 sayısı faktöriyel
sayısıdır.
Buna göre rakamları farklı en büyük ve rakamları farklh
en küçük faktöriyel sayılarının toplamı kaçtır?
A) 1036
B) 1182
C) 1162
D) 1214 E) 1235
(a - c)! = b! Şartını Sağlayan Üç Basamaklı abc Faktöriyel Sayıları
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Faktöriyel eşitliği: x! = y! ise x = y veya \{x, y\} = \{0, 1\} (0! = 1! = 1)
- (a - c)! = b! eşitliğinin sağlanması için:
- Durum 1: a - c = b \implies a = b + c
- Durum 2: a - c = 1 ve b = 0 \implies (1! = 0! = 1)
- Durum 3: a - c = 0 ve b = 1 \implies (a = c olur, rakamları farklı şartını bozduğu için elenir$)$
- abc üç basamaklı bir sayı olduğundan a \neq 0 ve a, b, c \in \{0, 1, 2, \dots, 9\} olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Rakamları Farklı En Büyük Faktöriyel Sayısını Bulma
- Sayının en büyük olması için yüzler basamağını en büyük rakam olan a = 9 seçelim.
- a = b + c eşitliğinden 9 = b + c elde edilir.
- Onlar basamağının (b) en büyük olması için b = 8 seçilirse, c = 1 olur.
- Elde edilen sayı: 981
- Kontrol: (9 - 1)! = 8! \implies 8! = 8! ve rakamları \{9, 8, 1\} birbirinden farklıdır.
Adım 2 — Rakamları Farklı En Küçük Faktöriyel Sayısını Bulma
- Yüzler basamağını (a) mümkün olan en küçük değer yapmaya çalışalım:
- a = 1 için:
- 1 = b + c durumunda rakamlar (1, 0, 1) veya (1, 1, 0) olur; rakamları farklı şartı sağlanmaz.
- a - c = 1 ve b = 0 için c = 0 olur, bu durumda b = c = 0 olacağından rakamları farklı şartı sağlanmaz.
- a = 2 için:
- 2 = b + c durumunda rakamlar (2, 0, 2), (2, 1, 1) veya (2, 2, 0) olur; rakamları farklı şartı sağlanmaz.
- 0! = 1! özelliğini (a - c = 1 ve b = 0) kullandığımızda:2 - c = 1 \implies c = 1b = 0
- Elde edilen sayı: 201
- Kontrol: (2 - 1)! = 0! \implies 1! = 0! = 1 ve rakamları \{2, 0, 1\} birbirinden farklıdır.
- a = 1 için:
Adım 3 — Bulunan Sayıların Toplanması
- En büyük sayı: 981
- En küçük sayı: 201
981 + 201 = 1182
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 1182
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Faktöriyelde Özel Durum (0!)
- Tanım: Matematiksel tanım gereği 0! = 1 ve 1! = 1’dir.
- Bu problemde: a - c = 1 ve b = 0 alındığında (2 - 1)! = 0! eşitliği sağlanarak en küçük üç basamaklı sayı (201) elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
0! = 1 Durumunu Unutmak
- Yanlış: Sadece a - c = b bağıntısını düşünüp a = 3 için en küçük sayıyı 312 veya 321 olarak almak.
- Doğru: 0! = 1! eşitliğini dikkate alarak b = 0 durumunu incelemek ve en küçük sayıyı 201 olarak bulmak.
- Neden yanlış: Faktöriyel eşitliklerinde 0! = 1 kuralı göz ardı edilirse daha küçük olan geçerli çözümler kaçırılır.
Benzer bir temel kavramlar veya faktöriyel sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?