1’den 9’a Kadar Rakamlarla Kutu Doldurma Problemi
KULLANILAN KAVRAMLAR VE YÖNTEM:
Bu problemde 1’den 9’a kadar olan rakamları her kutuya farklı bir rakam gelecek şekilde yerleştirmemiz gerekmektedir. Eşitlikler sağlanmalı ve turuncu kutulardaki sayılar için belirli bir oran kuralı geçerli olmalıdır. Çözüm, deneme-yanılma ve eleme yöntemlerini içerecektir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilenleri ve Kısıtlamaları Belirleme
- Kullanılacak rakamlar: \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
- Her kutuya farklı bir rakam gelecek.
- Üç adet işlem (+, \times, -) ve üç adet eşitlik var.
- Turuncu kutulara yazılan rakamların ikisinin birbirine oranı üçüncü sayıya eşit olacak. (Örn: A/B = C veya B/A = C)
- Sağ taraftaki üç kutudaki sayıların toplamı isteniyor.
Adım 2 — Turuncu Kutular İçin Olasılıkları Değerlendirme
Turuncu kutulara a, b, c diyelim. a/b = c veya b/a = c olmalı. a, b, c 1’den 9’a kadar farklı rakamlar olmalı.
Olası durumlar:
- a=1, b=2 \rightarrow c=0.5 (rakam değil)
- a=2, b=1 \rightarrow c=2 (rakam, ancak a=c olduğu için farklı rakam kuralına uymaz)
- a=4, b=2 \rightarrow c=2 (aynı rakam olduğu için olmaz)
- a=6, b=2 \rightarrow c=3 (Bu uygun bir üçlü: \{6, 2, 3\} veya \{2, 6, 3\} veya \{6, 3, 2\} vb.)
- a=8, b=2 \rightarrow c=4 (Bu uygun bir üçlü: \{8, 2, 4\})
- a=9, b=3 \rightarrow c=3 (aynı rakam olduğu için olmaz)
- a=4, b=1 \rightarrow c=4 (aynı rakam olduğu için olmaz)
Uygun turuncu kutu rakamları üçlüleri (farklı rakamlar):
- \{6, 2, 3\}: Oran 6/2 = 3 (veya 6/3 = 2)
- \{8, 2, 4\}: Oran 8/2 = 4 (veya 8/4 = 2)
Adım 3 — Turuncu Kutu Rakamlarını Kullanarak Eşitlikleri Doldurma (Deneme 1: Turuncu kutular \{6, 2, 3\} olsun)
Kullanılan rakamlar: \{6, 2, 3\}. Kalan rakamlar: \{1, 4, 5, 7, 8, 9\}.
Denklemler:
- turuncu + boş = sağ
- turuncu \times boş = sağ
- turuncu - boş = sağ
Şimdi turuncu kutulara 6, 2, 3 rakamlarını yerleştirelim. Sağ taraftaki kutuların toplamını bulmak için denemeler yapalım.
Deneme 1a: Turuncu kutular sırasıyla 6, 2, 3 olsun.
- 6 + A = B
- 2 \times C = D
- 3 - E = F
Kalan rakamlar: \{1, 4, 5, 7, 8, 9\}.
Eğer 2 \times C = D eşitliğine bakarsak, C ve D için kalan rakamlardan seçim yapmalıyız.
- Eğer C=4, D=8 olabilir. Kullanılan: \{4, 8\}. Kalan: \{1, 5, 7, 9\}.
- 6 + A = B. A ve B kalanlardan.
- A=1 \rightarrow B=7. Kullanılan: \{1, 7\}. Kalan: \{5, 9\}.
- 3 - E = F. E=5, F=9 veya E=9, F=5 olmalı. 3-5=-2 (olmaz), 3-9=-6 (olmaz).
- Bu kombinasyon çalışmadı.
Deneme 1b: Turuncu kutulara farklı yerleşimler denememiz lazım. Turuncu kutuya X, ortadaki boş kutuya Y, sağdaki kutuya Z dersek.
X/Y = Z kuralı geçerli. \{6, 2, 3\} için 6/2 = 3 veya 6/3 = 2.
Şimdi turuncu kutulara 6, 2, 3 rakamlarını yerleştireceğiz.
3. eşitlik T_3 - X_3 = Y_3 olduğu için T_3 en büyük turuncu rakamlardan biri olmalı.
Farz edelim turuncu kutular yukarıdan aşağıya T_1, T_2, T_3 olsun.
Eğer T_1=6, T_2=2, T_3=3 ise:
- 6 + A = B
- 2 \times C = D
- 3 - E = F
Buradan C=4, D=8 (kullanılan \{4, 8\}). Kalan \{1, 5, 7, 9\}.
A=1, B=7 ise, 6+1=7. Kalan \{5, 9\}.
3-E=F için E=1, F=2 rakamları zaten kullanıldığı için bu durum geçersiz. E, F kalan \{5,9\} olmalı. 3-5=-2, 3-9=-6 olamaz.
Deneme 1c: Turuncu kutuları T_1=8, T_2=2, T_3=4 olarak düşünelim (\{8, 2, 4\} üçlüsü).
Kullanılan rakamlar: \{8, 2, 4\}. Kalan: \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}.
- 8 + A = B
- 2 \times C = D
- 4 - E = F
Şimdi 2 \times C = D eşitliğini kalan rakamlarla dolduralım.
- C=3, D=6. (Kullanılan \{3, 6\}). Kalan: \{1, 5, 7, 9\}.
- 8 + A = B. Kalan: \{1, 5, 7, 9\}.
- Eğer A=1, B=9. (Kullanılan \{1, 9\}). Kalan: \{5, 7\}.
- Şimdi 4 - E = F eşitliğini kalan \{5, 7\} ile doldurmalıyız.
- E=5, F=7 \rightarrow 4-5 = -1 (olmaz)
- E=7, F=5 \rightarrow 4-7 = -3 (olmaz)
- Bu kombinasyon çalışmadı.
- Eğer A=5, B 13 olur (olamaz).
- Eğer A=7, B 15 olur (olamaz).
- Eğer A=9, B 17 olur (olamaz).
Adım 4 — Başarılı Bir Yerleşim Bulana Kadar Denemeye Devam Etme
Turuncu kutuların yerleşimi kritik. X/Y=Z kuralını tekrar düşünelim.
Bir turuncu kutu bölmenin solunda, biri bölmenin sağında, biri de bölme işleminin sonucunda.
Bu da turuncu kutuların T_1, T_2, T_3 olması yerine, bir bölme işleminde bu rakamların yer alması gerektiğini gösteriyor. Soruyu daha dikkatli okuyalım: “Turuncu renkli kutuların içine yazılan rakamların ikisinin birbirine oranı üçüncủ sayıya eşittir.”
Bu, turuncu kutuların içinde 3 sayı olduğu ve bu 3 sayı arasında X/Y=Z ilişkisi olduğu anlamına gelir.
Yani, soldaki sütunda 3 turuncu kutu var. Bu kutuların içine yazılacak K_1, K_2, K_3 rakamları için K_i/K_j = K_k kuralı geçerli olmalı.
Bu durumda, 1’den 9’a kadar olan rakamlar kullanıldığında:
- Olası üçlüler:
- \{2, 3, 6\} (6/2=3 veya 6/3=2)
- \{2, 4, 8\} (8/2=4 veya 8/4=2)
Şimdi bu üçlüleri soldaki turuncu kutulara yerleştirmeyi deneyelim.
Deneme 2: Turuncu kutular \{2, 3, 6\} olsun
- T_1, T_2, T_3 soldaki turuncu kutular. Bunlar 2, 3, 6.
- Kalan rakamlar: \{1, 4, 5, 7, 8, 9\}.
- Eşitlikler:
- T_1 + K_1 = S_1
- T_2 \times K_2 = S_2
- T_3 - K_3 = S_3
Sağ taraftaki kutuların toplamı S_1 + S_2 + S_3.
Şimdi turuncu kutulara 2, 3, 6’yı yerleştirelim. Çıkarma işleminde pozitif sonuç elde etmek için T_3 büyük olmalı. T_2 \times K_2 için T_2 küçük olabilir. T_1 + K_1 için de esneklik var.
Diyelim ki:
Denklemler:
- 3 + K_1 = S_1
- 2 \times K_2 = S_2
- 6 - K_3 = S_3
Kalan rakamlar: \{1, 4, 5, 7, 8, 9\}.
En kolay 2 \times K_2 = S_2 denklemini ele alalım:
- Eğer K_2 = 4, S_2 = 8. Kullanılan: \{4, 8\}. Kalan: \{1, 5, 7, 9\}.
- 3 + K_1 = S_1. Kalan \{1, 5, 7, 9\}.
- Eğer K_1 = 1, S_1 = 4. Ama 4 kullanıldı (K_2).
- Eğer K_1 = 5, S_1 = 8. Ama 8 kullanıldı (S_2).
- Eğer K_1 = 7, S_1 = 10 (rakam değil).
- Eğer K_1 = 9, S_1 = 12 (rakam değil).
- Bu K_2=4, S_2=8 kombinasyonu çalışmadı.
Tekrar 2 \times K_2 = S_2 denklemi için kalan rakamlardan seçim yapalım:
- Eğer K_2 = 1, S_2 = 2. Ama 2 kullanıldı (T_2).
- Eğer K_2 = 3, S_2 = 6. Ama 3, 6 kullanıldı (T_1, T_3).
- Eğer K_2 = 4, S_2 = 8. (Bu yukarıda denendi ve çalışmadı.)
Şimdi diğer turuncu üçlüyü deneyelim: \{2, 4, 8\}.
Deneme 3: Turuncu kutular \{2, 4, 8\} olsun
- Kullanılan rakamlar: \{2, 4, 8\}. Kalan rakamlar: \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}.
Diyelim ki:
Denklemler:
- 2 + K_1 = S_1
- 4 \times K_2 = S_2
- 8 - K_3 = S_3
Kalan rakamlar: \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}.
4 \times K_2 = S_2 denklemini ele alalım:
- Eğer K_2 = 1, S_2 = 4. Ama 4 kullanıldı (T_2).
- Eğer K_2 = 3, S_2 = 12 (rakam değil).
- K_2 için kalan rakamlardan sadece 1 uygun. Diğerleri çarpıldığında ya turuncu kutu rakamını veriyor ya da iki basamaklı sayı veriyor.
Bu durumda, T_1, T_2, T_3 yerleşimi yanlış olabilir. Turuncu kutuların yeri önemli.
Verilen resimden turuncu kutular 1. işlemdeki ilk kutu, 2. işlemdeki ilk kutu ve 3. işlemdeki ilk kutu. Yani T_1, T_2, T_3 dediğimiz kutular.
Yeniden deneyelim ve turuncu kutuların yerlerini sabitleyelim:
T_1 (üst turuncu)
T_2 (orta turuncu)
T_3 (alt turuncu)
Adım 5 — Uygun Yerleşimi Bulma ve Doğrulama
Deneme 3’teki üçlüye dönelim: Turuncu kutular \{2, 4, 8\}.
Kalan rakamlar: \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}.
Yerleştirme:
- 2 + K_1 = S_1
- 4 \times K_2 = S_2
- 8 - K_3 = S_3
4 \times K_2 = S_2 için kalan rakamlar \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}.
- Eğer K_2 = 1, S_2 = 4 (4 kullanıldı).
- Eğer K_2 = 3, S_2 = 12 (değil).
- Eğer K_2 = 5, S_2 = 20 (değil).
Bu durum turuncu kutuların yerleşimi veya seçilen üçlünün yanlış olduğunu gösteriyor.
Farklı bir yaklaşım: Rakamların dağılımına bakalım.
S_1, S_2, S_3 sağdaki kutular. Toplamı isteniyor.
Turuncu kutular A, B, C olsun. Kalan 6 rakam X_1, X_2, X_3, Y_1, Y_2, Y_3 olsun.
T_1 + K_1 = S_1
T_2 \times K_2 = S_2
T_3 - K_3 = S_3
Turuncu kutuların rakamları: x, y, z. Bu rakamlar için x/y=z veya x/z=y gibi bir ilişki var.
Olası setler: \{2,3,6\} veya \{2,4,8\}.
Durum 1: Turuncu kutular \{2,3,6\}
Rakamlar: \{2,3,6\}. Kalan: \{1,4,5,7,8,9\}.
Çarpma işlemi: T_2 \times K_2 = S_2.
- Eğer T_2=2: 2 \times K_2 = S_2.
- (K_2, S_2) olabilir: (1, \text{2 (kullanıldı)}), (4,8), (5, \text{10 (değil)}).
- Yani (K_2, S_2) = (4,8) seçeneği tek. Kullanılan: \{2,3,6,4,8\}. Kalan: \{1,5,7,9\}.
- Denklemler:
- T_1 + K_1 = S_1
- 2 \times 4 = 8
- T_3 - K_3 = S_3
- T_1, T_3 kalan turuncu rakamlar \{3,6\} olmalı.
- Eğer T_1=3, T_3=6:
- 3 + K_1 = S_1. Kalan: \{1,5,7,9\}.
- (K_1, S_1) olabilir: (1, \text{4 (kullanıldı)}), (5,8 (\text{kullanıldı})). Yok.
- Eğer T_1=6, T_3=3:
- 6 + K_1 = S_1. Kalan: \{1,5,7,9\}.
- (K_1, S_1) olabilir: (1,7). Kullanılan: \{1,7\}. Kalan: \{5,9\}.
- Denklem 1: 6 + 1 = 7.
- Denklem 2: 2 \times 4 = 8.
- Denklem 3: 3 - K_3 = S_3. Kalan K_3, S_3 için \{5,9\}.
- 3 - 5 = -2 (değil).
- 3 - 9 = -6 (değil).
- Bu kombinasyon da çalışmadı.
En olası senaryo: Turuncu kutular \{2,4,8\}
Rakamlar: \{2,4,8\}. Kalan: \{1,3,5,6,7,9\}.
Çarpma işlemi: T_2 \times K_2 = S_2.
- Eğer T_2=4: 4 \times K_2 = S_2.
- (K_2, S_2) olabilir: (1,4 (\text{kullanıldı})).
- Bu, T_2=4 olamaz anlamına gelir, çünkü K_2 ve S_2 farklı olmalı.
- Eğer T_2=2: 2 \times K_2 = S_2.
- (K_2, S_2) olabilir: (1, \text{2 (kullanıldı)}), (3,6), (5, \text{10 (değil)}).
- Tek uygun (K_2, S_2) = (3,6).
- Kullanılan rakamlar: \{2,4,8\} (turuncular) ve \{3,6\} (K_2, S_2).
- Toplam kullanılan: \{2,3,4,6,8\}. Kalan: \{1,5,7,9\}.
Şimdi turuncu kutulara T_1, T_2, T_3 olarak 2, 4, 8’i yerleştirelim. T_2 artık 2 oldu.
- T_1, T_3 kalan turuncu rakamlar \{4,8\} olmalı.
- S_1, S_2, S_3 sağdaki kutular.
Denklemler:
- T_1 + K_1 = S_1
- 2 \times 3 = 6
- T_3 - K_3 = S_3
Kalan rakamlar: \{1,5,7,9\}.
Durum: T_1=4, T_3=8
- 4 + K_1 = S_1. Kalan \{1,5,7,9\}.
- (K_1, S_1) olabilir: (1,5). Kullanılan: \{1,5\}. Kalan: \{7,9\}.
- Şimdi 8 - K_3 = S_3. Kalan \{7,9\}.
- K_3=1, S_3=7 \implies 8-1=7. Rakamlar uygun!
- Kontrol:
- T_1=4, K_1=1, S_1=5
- T_2=2, K_2=3, S_2=6
- T_3=8, K_3=1, S_3=7
- Kullanılan rakamlar: \{4,1,5,2,3,6,8,7\}. Bu rakamlarda 1 iki kere kullanıldı (K_1 ve K_3). Bu durum geçersiz.
Geriye dönelim, K_1 ve K_3 farklı olmalı. Bu nedenle bu yerleşim olamaz.
Durum: T_1=8, T_3=4
- 8 + K_1 = S_1. Kalan \{1,5,7,9\}.
- K_1=1 \rightarrow S_1=9. Kullanılan: \{1,9\}. Kalan: \{5,7\}.
- Şimdi 4 - K_3 = S_3. Kalan \{5,7\}.
- 4-5=-1 (olmaz)
- 4-7=-3 (olmaz)
- Bu da çalışmadı.
Yeniden ele alalım: Turuncu kutular \{2,4,8\}. K_2=3, S_2=6. Kalan rakamlar: \{1,5,7,9\}.
Turuncu kutular T_1, T_2, T_3 sırasıyla T_2=2 olduğu için, T_1 ve T_3 ya 4,8 ya da 8,4 olabilir.
Tekrar deneme - Farklı yerleşim:
T_1=4
T_2=2
T_3=8
- 4 + K_1 = S_1
- 2 \times 3 = 6 (Kullanılan \{2,3,6\}. Turuncular \{2,4,8\}. Kalan: \{1,5,7,9\})
- 8 - K_3 = S_3
Kalan rakamlar: \{1,5,7,9\}
-
4 + K_1 = S_1:
- Eğer K_1=1, S_1=5. Kullanılan \{1,5\}. Kalan \{7,9\}.
- Denklemler:
- 4 + 1 = 5
- 2 \times 3 = 6
- 8 - K_3 = S_3. Kalan \{7,9\}.
- Eğer K_3=7, S_3=9 \rightarrow 8-7=1 (olmaz, 1 kullanıldı)
- Eğer K_3=9, S_3=7 \rightarrow 8-9=-1 (olmaz)
-
4 + K_1 = S_1:
- Eğer K_1=5, S_1=9. Kullanılan \{5,9\}. Kalan \{1,7\}.
- Denklemler:
- 4 + 5 = 9
- 2 \times 3 = 6
- 8 - K_3 = S_3. Kalan \{1,7\}.
- Eğer K_3=1, S_3=7 \rightarrow 8-1=7.
- Bu kombinasyon doğru!
- Kullanılan tüm rakamlar:
- T_1=4, K_1=5, S_1=9
- T_2=2, K_2=3, S_2=6
- T_3=8, K_3=1, S_3=7
- Set: \{4,5,9,2,3,6,8,1,7\}. Bu rakamlar 1’den 9’a kadar olan tüm farklı rakamları içerir ve her biri bir kez kullanılmıştır.
- Turuncu kutular \{4,2,8\}. Oran kuralı: 8/4=2 sağlanır.
Adım 6 — Sağdaki Kutuların Toplamını Hesaplama
Sağdaki kutular S_1, S_2, S_3 idi.
S_1 = 9
S_2 = 6
S_3 = 7
Toplam: 9 + 6 + 7 = 22.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 22
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Deneme-Yanılma (Trial and Error)
- Tanım: Bir problemin çözümünü bulmak için farklı yaklaşımları veya değerleri sistematik olarak deneme yöntemidir.
- Bu problemde: Turuncu kutular için olası rakam üçlülerini belirledik ve bu üçlüleri denklemlere yerleştirerek çözüme ulaştık.
2. Eleme Yöntemi (Elimination Method)
- Tanım: Bir seçenek kümesinden, belirli koşulları sağlamayanları ortadan kaldırarak doğru çözüme ulaşma stratejisidir.
- Bu problemde: Rakamların bir kez kullanılması kuralı ve eşitliklerin sağlanması kısıtlamaları, birçok olası yerleşimi elememize yardımcı oldu.
SIK YAPILAN HATALAR:
Rakamları Tekrar Kullanma
- Yanlış: Çözüm sırasında aynı rakamı birden fazla kutuya yazmak.
- Doğru: Her kutuya farklı bir rakam geldiğinden emin olmak. Yukarıdaki çözümde 1 rakamının tekrar kullanıldığı bir denemeyi bu yüzden eledik.
- Neden yanlış: Problem tanımının temel kuralını ihlal eder ve doğru çözüme ulaşmayı engeller.
Oran Kuralını Yanlış Yorumlama
- Yanlış: Turuncu kutulardaki rakamların ikisinin oranının üçüncü sayıya eşit olması kuralını, bu üç rakamın herhangi bir kutuda bulunabileceği şeklinde yorumlamak.
- Doğru: Turuncu kutuların soldaki ilk sütun olduğunu ve bu üç kutunun içindeki rakamlar arasında oran ilişkisi olduğunu anlamak.
- Neden yanlış: Kuralı yanlış anlamak, yanlış rakam setleriyle deneme yapılmasına ve zaman kaybına yol açar.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir sayı yerleştirme veya işlem önceliği problemi çözmemi ister misin?
