Telefonun tuş takımı aşağıdaki gibi olan Ömer, telefonda 5 haneli ekran kilidini tuşlayacaktır

Question Answer
1

Telefonun tuş takımı aşağıdaki gibi olan Ömer, telefonda 5 haneli ekran kilidini tuşlayacaktır.
Ömer’in şifresinin sadece ilk iki hanesi aynı rakamlardan oluşmaktadır.
Buna göre, Ömer’in şifresini oluşturan rakamların toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
A) 53
B) 55
C) 57
D) 59
E) 60

Telefonun tuş takımı aşağıdaki gibi olan Ömer, telefonda 5 haneli ekran kilidini...
Telefonun tuş takımı aşağıdaki gibi olan Ömer, telefonda 5 haneli ekran kilidini...1024×768 201 KB

2

Asal Çarpanlara Ayırma ve Rakam Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir sayının rakamları çarpımı verildiğinde, sayının asal çarpanlar algoritması (7! = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1) kullanılarak basamaklara gelebilecek tek basamaklı çarpanlar belirlenir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Şifrenin Yapısını ve Çarpım Değerini Belirleme
Şifre 5 haneli olup yalnızca ilk iki hanesi aynı rakamdan oluştuğundan, rakamlar a, a, b, c, d biçimindedir. Burada a, b, c, d \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} olup birbirlerinden farklı rakamlardır. Rakamların çarpımı:

a^2 \cdot b \cdot c \cdot d = 7! = 5040

Adım 2 — Asal Çarpanları Dağıtma
7! sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali:

7! = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1

5 ve 7 asal sayılarının kuvveti 1 olduğundan ve tuş takımında bu sayıların katı olan başka bir rakam bulunmadığından; 5 ve 7 mutlaka b, c, d rakamlarından ikisi olmalıdır (a^2 içinde yer alamazlar). Geriye kalan üçüncü rakama k dersek:

a^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot k = 5040 \implies a^2 \cdot k = \frac{5040}{35} = 144

Adım 3 — Koşulu Sağlayan (a, k) Değerlerini Bulma
k bir rakam (1 \le k \le 9) olduğundan, a^2 \ge \frac{144}{9} = 16 \implies a \ge 4 olmalıdır:

  • a = 4 için: 4^2 \cdot k = 144 \implies k = 9 olur. Rakamlar kümesi \{4, 5, 7, 9\} birbirinden farklıdır.
    \text{Rakamlar Toplamı} = 4 + 4 + 5 + 7 + 9 = 29
  • a = 6 için: 6^2 \cdot k = 144 \implies k = 4 olur. Rakamlar kümesi \{6, 4, 5, 7\} birbirinden farklıdır.
    \text{Rakamlar Toplamı} = 6 + 6 + 4 + 5 + 7 = 28
  • a = 5, 7, 8, 9 değerleri için a^2, 144’ü tam bölmez.

Toplamın alabileceği farklı değerlerin toplamı:

29 + 28 = 57

:white_check_mark: CEVAP: C) 57 (29 + 28 = 57)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Kuvveti 1 olan büyük asal çarpanlar (5 ve 7) kareli bir terimin (a^2) içinde yer alamayacağı için doğrudan tek basamaklı diğer çarpanlar olarak ayrılır; bu durum işlem kalabalığını önler.