Teknekoji Fakaltesi snluklu urn silindirik bir yuk dalimu düşünelim

Üniversite
1

Soru:
Teknekoji Fakaltesi
snluklu urn silindirik bir yuk dalimu düşünelim. r<R olmak üzee
cklrik alaunt bulunu?
salimde ekseninen r
3.V d9 = 5dv
q Ss JU

dA = Rk Ssdv

E SdAe 4rkS Sdu
S.5.S Sekilde
teLis da
2r

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Teknekoloji Fakültesi Silindirik Yük Dağılımı İçin Elektrik Alanı Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Gauss Yasası:
    \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{iç}}}{\varepsilon_0}
  • Silindirik koordinatlarda hacim elemanı:
    dV = 2 \pi r L dr
  • Yük yoğunluğu: \rho

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Yükün Hacimsel Dağılımını Tanımla

Silindirik yükün yarıçapı R, yük yoğunluğu \rho. r < R için silindirin ekseninden r uzaklıktaki bir yüzey içindeki yükü bulacağız.

Adım 2 — Gauss Yüzeyini Belirle

Gauss yüzeyi, silindirik yük içinde r yarıçapında, L uzunluğunda hayali bir silindirdir.

Yüzey alanı:

A = 2 \pi r L

Adım 3 — İç Yükü Hesapla

Hacimelemanı:

dV = 2 \pi r L dr

Birim hacimdeki yük:

dq = \rho dV = \rho 2 \pi r L dr

Toplam iç yük:

q_{\text{iç}} = \int_0^r \rho 2 \pi r L dr = 2 \pi \rho L \int_0^r r dr = 2 \pi \rho L \frac{r^2}{2} = \pi \rho L r^2

Adım 4 — Gauss Yasası İle Elektrik Alanı Bul

\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = E \times (2 \pi r L) = \frac{q_{\text{iç}}}{\varepsilon_0} = \frac{\pi \rho L r^2}{\varepsilon_0}

Buradan,

E = \frac{\pi \rho L r^2}{2 \pi r L \varepsilon_0} = \frac{\rho r}{2 \varepsilon_0}

Adım 5 — Sonuç

Silindirin ekseninden r<R uzaklıktaki elektrik alanı:

\boxed{ E = \frac{\rho r}{2 \varepsilon_0} }

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

R yarıçaplı, \rho düzgün yük yoğunluklu uzun silindirik bir yük dağılımı düşünelim. r<R olmak üzere silindir ekseninden r uzaklıkta elektrik alanını bulunuz.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Gauss Yasası: $$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Simetri ve Gauss yüzeyi seçimi
Silindir eksenine paralel, yarıçapı r ve boyu L olan silindirik Gauss yüzeyi seçilir. Bu yüzeyde \mathbf{E} yüzeye dik ve sabittir.

Adım 2 — Kapalı yüzey içine giren yükü hesapla

Kapalı yüzey içine giren yük Q_{\text{enc}}:

Q_{\text{enc}}=\rho\cdot(\text{hacim})
= \rho \cdot (\pi r^2 L)
= \rho \pi r^2 L

Adım 3 — Gauss yasasını uygula

Gauss yasasının sol tarafı (yüzey integralinin değeri):

\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\cdot (2\pi r L)

Gauss yasası (kurulum):

E\cdot (2\pi r L)=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}

Substitue edilen ifade:

E\cdot (2\pi r L)=\frac{\rho \pi r^2 L}{\varepsilon_0}

Elektrik alanı için çöz:

E=\frac{\rho \pi r^2 L}{\varepsilon_0 \cdot 2\pi r L}
E=\frac{\rho \, r^2}{\varepsilon_0 \cdot 2 r}
E=\frac{\rho \, r}{2\varepsilon_0}

:white_check_mark: CEVAP: $$E(r)=\frac{\rho, r}{2\varepsilon_0}\qquad (r<R)$$

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Gauss Yasası
  • Tanım: Elektrik alanın yüzey integrali, kapalı yüzey içindeki toplam yükün \varepsilon_0’a oranına eşittir.
  • Bu problemde: Simetrik bir seçimle E sabit kabul edilip kolayca çözüm yapılır.
  1. Simetri (Silindirik Simetri)
  • Tanım: Yük dağılımı silindirik ve sonsuz uzunlukta gibi düşünüldüğünde alan yalnızca yarıçapa bağlıdır.
  • Bu problemde: Alanın yüzeye dik ve sabit olduğu varsayımı ile Gauss yüzeyi seçimi geçerlidir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yetersiz Gauss yüzeyi seçimi

  • Yanlış: Düzensiz veya eksen dışı bir yüzey seçip doğrudan formülü uygulamak.
  • Doğru: Silindrik simetriye uygun, eksenle paralel silindirik yüzey seçilmeli.
  • Neden yanlış: Yanlış yüzey seçiminde E sabit olmayabilir ve integral karışır.
  • Düzeltme: Eksene paralel ve yarıçapı r olan silindirik yüzey kullanın.

:cross_mark: İç nokta için bütün yükü kullanma (r yerine R kullanmak)

  • Yanlış: Hesapta Q_{\text{enc}}=\rho\pi R^2 L alıp R kullanmak.
  • Doğru: İç nokta için sadece Gauss yüzeyinin içindeki yük, yani \pi r^2 L, kullanılmalıdır.
  • Neden yanlış: Dış kısımdaki yük Gauss yüzeyi tarafından kapsanmaz.
  • Düzeltme: Enclosed charge olarak \rho\pi r^2 L kullanılmalı.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?