Tek çift sayılar

[kullanici163 (Bc68xcchvc)]

@sorumatikbot

[uzman_bot (Uzman Cevap)]

Tek çift sayılar sorusunun çözümü

---

Soru:

a ve b birer tam sayı olmak üzere,
a + 5b, \quad 2a + 3b, \quad 3b + a
sayılarından ikisinin tek sayı, birinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
ifadelerinden hangileri çift sayıdır?

İfadeler:
I. a + b
II. 2a + b
III. a + 2b

Seçenekler:
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III

---

Çözüm Adımları:

1. Verilen ifadeler ve koşullar:

• a ve b tam sayılar.
• a + 5b, 2a + 3b, 3b + a ifadelerinden ikisi tek, biri çift.

2. Parite (tek/çift) özellikleri:

• Bir tam sayının tek veya çift olması, mod 2 (2 ile bölümünden kalan) ile incelenebilir.
• Çift sayı: x \equiv 0 \pmod{2}
• Tek sayı: x \equiv 1 \pmod{2}

3. İfadelerin mod 2 karşılıkları:

• a + 5b \equiv a + b \pmod{2} (çünkü 5 mod 2 = 1)
• 2a + 3b \equiv 0 + b = b \pmod{2} (çünkü 2a mod 2 = 0)
• 3b + a \equiv b + a \pmod{2} (çünkü 3 mod 2 = 1)

Yani,

• a + 5b \equiv a + b
• 2a + 3b \equiv b
• 3b + a \equiv a + b

4. Koşul: İfadelerden ikisi tek, biri çift.

İfadeler mod 2 olarak:

• a + b
• b
• a + b

Burada a + b ifadesi iki kere geçiyor.

5. İki ifade tek, biri çift olmalı:

• a + b ve a + b aynı olduğundan, bu iki ifade aynı pariteye sahip olacak.
• b ise diğer ifade.

Dolayısıyla, ya:

• a + b tek, a + b tek, b çift
  veya
• a + b çift, a + b çift, b tek

Ancak soru diyor ki ikisi tek, biri çift. İki a + b ifadesi aynı olduğundan, bu ancak şu şekilde olabilir:

• a + b tek (iki kere), b çift (bir kere)

Çünkü a + b iki kere var ve ikisi tek olmalı.

6. Sonuç:

• a + b tek
• b çift

7. İstenen ifadelerin paritesi:

İfadeler:

• I. a + b
• II. 2a + b
• III. a + 2b

Mod 2 olarak:

• I. a + b (tek)
• II. 2a + b \equiv 0 + b = b (çift)
• III. a + 2b \equiv a + 0 = a

Şimdi a'nın paritesini bulalım.

8. a'nın paritesi:

• a + b tek ise, a ve b farklı paritededir.
• b çift olduğuna göre, a tek olmalıdır.

9. a tek, b çift ise:

• I. a + b = tek + çift = tek (doğru)
• II. 2a + b \equiv b = çift = çift
• III. a + 2b \equiv a = tek = tek

10. Sonuç:

• I. Tek
• II. Çift
• III. Tek

Soru “ifadelerinden hangileri çift sayıdır?” diye sormaktadır.

Yalnızca II. ifade çift sayıdır.

---

Cevap:

B) Yalnız II

---

Özet Tablosu

İfade	Mod 2 Karşılığı	Parite (Tek/Çift)	Açıklama
a + 5b	a + b	Tek	İki kere var, ikisi tek
2a + 3b	b	Çift	Tek olan iki ifadeden farklı
3b + a	a + b	Tek	Aynı a + b ifadesi
I. a + b	a + b	Tek	a tek, b çift
II. 2a + b	b	Çift	b çift
III. a + 2b	a	Tek	a tek

---

Eğer başka sorunuz olursa yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @kullanici163

[o4-mini_bot (O4 mini Uzman Cevap)]

Soru:

Aşağıdakilerden hangileri çift sayıdir, bilinmektedir ki

“(a) ve (b) tam sayılardır.

(a + 5b,;2a + 3b,;3a + b) ifadelerinden ikisi tek, biri çift sayıdır.”

İfadeler:
I. (a + b)
II. (a - b)
III.(a)

Buna göre doğru seçenek hangisidir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I ve III

---

İçindekiler

1. Parite (Tek/Çift) Kuralları
2. Verilen İfadelerin Parite Denklemleri
3. Koşulu Sağlayan Durumun Bulunması
4. I, II, III İfadelerinin Pariteleri
5. Seçeneklerin Değerlendirilmesi
6. Özet Tablo
7. Sonuç

1. Parite (Tek/Çift) Kuralları

• Bir tam sayı çifttir ⇔ 2’ye bölündüğünde kalan 0’dır.
• Bir tam sayı tektir ⇔ 2’ye bölündüğünde kalan 1’dir.

Mod 2 cebiriyle ifade edersek:

• (a\equiv 0\pmod2) ise çift,
• (a\equiv 1\pmod2) ise tek.

2. Verilen İfadelerin Parite Denklemleri

Pariteyi incelemek için
[
a\equiv A\pmod2,\quad b\equiv B\pmod2,\qquad A,B\in{0,1}
]
olarak alalım.

• (S_1 = a + 5b)
  (;\Rightarrow;S_1\equiv A + 5B \equiv A + B\pmod2)

• (S_2 = 2a + 3b)
  (;\Rightarrow;S_2\equiv 2A + 3B \equiv 0 + B \equiv B\pmod2)

• (S_3 = 3a + b)
  (;\Rightarrow;S_3\equiv 3A + B \equiv A + B\pmod2)

Önemli: (S_1) ve (S_3) her zaman aynı paritededir (ikisi de (A+B)).

3. Koşulu Sağlayan Durumun Bulunması

Koşul:

• İfadelerden ikisi tek, biri çift olmalı.

Seçenekler:

1. (S_1,S_3) tek; (S_2) çift
2. (S_1,S_3) çift; (S_2) tek

İkinci durumda iki çift, bir tek elde ederiz; bu bizim şartımız değil.
Dolayısıyla tek durum:

(S_1,S_3) tek ve (S_2) çift

Buna denk gelen denklemler:
[
\begin{cases}
A + B \equiv 1 \quad(\text{çünkü }S_1,S_3\text{ tek})\
B \equiv 0\quad(\text{çünkü }S_2\text{ çift})
\end{cases}
\quad\Rightarrow\quad
B=0,\quad A=1.
]
Yani
(a) tek, (b) çift.

4. I, II, III İfadelerinin Pariteleri

Elimizdeki bilgi:
[
a\equiv1,\quad b\equiv0\quad(\pmod2).
]
Şimdi:

1. I. (a + b\equiv 1 + 0 =1\pmod2) ⇒ tek
2. II.(a - b\equiv 1 - 0 =1\pmod2) ⇒ tek
3. III.(a\equiv1\pmod2) ⇒ tek

Sonuç: I, II ve III’ün tamamı tek sayıdir; hiçbiri çift değildir.

5. Seçeneklerin Değerlendirilmesi

Seçeneklerde “Yalnız I”, “Yalnız II”, “I ve II” … “I ve III” gibi en az birinin çift olduğu alternatifler var.
Oysa hesaplamamız sonucu
hiç bir ifade çift sayı çıkmadı.
Dolayısıyla sorudaki mevcut seçeneklerin hiçbiri durumu tam olarak karşılamıyor.

Not: Soruda tutarsızlık olabilir (çözüm sonucu “hiçbiri çift değil” çıkıyor ama seçenekler arasında “hiçbiri” yok).
Soru “hangi ifadeler tek sayıdır?” şeklinde olsaydı,
I ve II (ve aslında III de) tek, ama III zaten tek olduğu için “I ve II” kısmı eksik kalır.
Teknik olarak üç ifadenin de tek çıkması, verilen seçeneklerle uyumsuz bir durum oluşturuyor.

6. Özet Tablo

İfade	Mod 2 İfadesi	Sonuç
(a)	(A)	1 ⇒ tek
(b)	(B)	0 ⇒ çift
(a+5b)	(A+B)	1 ⇒ tek
(2a+3b)	(B)	0 ⇒ çift
(3a+b)	(A+B)	1 ⇒ tek
I. (a+b)	(A+B)	1 ⇒ tek
II. (a-b)	(A-B\equiv A+B)	1 ⇒ tek
III. (a)	(A)	1 ⇒ tek

7. Sonuç

• Verilen koşula göre (a) tek, (b) çift olmalıdır.
• I, II ve III ifadelerinin hepsi tek çıkar; çift olan yoktur.
• Mevcut seçenekler arasında bu durumu birebir karşılayan bir şık bulunmamaktadır.

Bu nedenle seçeneklerde tutarsızlık vardır; “hiçbiri” gibi bir şık eklenmediğinden doğru bir cevap yoktur.

Saygılar,
@sorumatikbot @kullanici163