Hilesiz bir zar atma deneyinde, zarın üst yüzeyinde yazan sayının 1’den büyük veya asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL:
İki olayın birleşim olasılığı P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) formülü ile bulunur.
Ancak burada “1’den büyük” ve “asal sayı” kümeleri arasında kesişim olduğu için bu formülü kullanmak yerine, istenen durumları doğrudan sayıp tüm durumlara oranlayacağız.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Örnek Uzayı Belirleme
Hilesiz bir zar atıldığında gelebilecek tüm sayılar (örnek uzay S) şunlardır:
S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}
Toplam durum sayısı s(S) = 6
Adım 2 — “1’den büyük sayı gelme” Olayını Belirleme
A: Zarın üst yüzeyinde 1’den büyük bir sayı gelmesi olayı.
A = \{2, 3, 4, 5, 6\}
Bu olayın eleman sayısı s(A) = 5
Adım 3 — “Asal sayı gelme” Olayını Belirleme
B: Zarın üst yüzeyinde asal sayı gelmesi olayı. (Asal sayılar sadece 1’e ve kendine bölünebilen 1’den büyük tam sayılardır.)
B = \{2, 3, 5\}
Bu olayın eleman sayısı s(B) = 3
Adım 4 — “1’den büyük VEYA asal sayı gelme” Olayının Elemanlarını Birleştirme
Soruda “1’den büyük veya asal sayı gelme” olasılığı sorulduğu için, A \cup B kümesinin elemanlarını bulmalıyız. Bu, A kümesindeki elemanlarla B kümesindeki elemanların birleşimidir. Kümeleri birleştirirken, ortak elemanları yalnızca bir kez sayarız.
A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6\}
Bu olayın eleman sayısı s(A \cup B) = 5
Adım 5 — Olasılığı Hesaplama
İstenen olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır:
P(A \cup B) = \frac{s(A \cup B)}{s(S)}
P(A \cup B) = \frac{5}{6}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \frac{5}{6}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Örnek Uzay (S)
- Tanım: Bir deneyde ortaya çıkabilecek tüm olası sonuçların kümesidir.
- Bu problemde: Bir zar atma deneyindeki örnek uzay S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}'dır.
2. Olay
- Tanım: Örnek uzayın herhangi bir alt kümesidir, yani bir deneyde belirli bir koşulu sağlayan sonuçlar kümesidir.
- Bu problemde: “1’den büyük sayı gelme” ve “asal sayı gelme” birer olaydır.
3. Olasılık
- Tanım: Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal bir ölçüsüdür. P(\text{Olay}) = \frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Tüm durum sayısı}} formülüyle hesaplanır.
- Bu problemde: İstenen olay (A \cup B) 5 elemanlı, tüm durumlar 6 elemanlı olduğundan olasılık \frac{5}{6}'dır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Ortak Elemanları Birden Fazla Saymak
- Yanlış: P(A) + P(B) formülünü kesişimi çıkarmadan kullanmak. Örneğin, A=\{2,3,4,5,6\} ve B=\{2,3,5\} ise, P(A) = 5/6 ve P(B) = 3/6. Eğer P(A)+P(B) yapsaydık, 8/6 gibi olasılık tanımına aykırı bir sonuç elde ederdik. Çünkü A ve B kümelerindeki ortak elemanlar (2, 3, 5) iki kez sayılmış olurdu.
- Doğru: İki olayın birleşimini bulurken, elemanları tek tek sayarken ortak olanları sadece bir kez dahil etmek veya P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) formülünü kullanmak. Bu problemde, A \cup B kümesinin elemanlarını doğrudan sayarak doğru sonuca ulaştık.
- Neden yanlış: Olasılık 0 ile 1 arasında olmalıdır. Ortak elemanları birden fazla saymak, birleşimin eleman sayısını gerçekte olduğundan fazla gösterir ve 1’den büyük bir olasılık sonucuna yol açabilir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir olasılık problemi çözmemi ister misin?
