- Ökgür, anindan üç basamaklı ve rakamları sifirdan
tarklı bir doğal sayı tutuyor ve bu sayının rakamlarınin
yerlerini değiştirerek üç basamaklı yení doğal sayılar
elde ediyor.
Özgürün elde ettiği bu doğal sayılardan;
• yalnızca birinin 5 ile,
tam bölündüğü biliniyor.
Özgür’ün aklından tuttuğu sayının rakamlarından
oluşan küme iki elemandan oluştuğuna göre K
sayısı,
I|. 28
II. 39
değerlerinden hangilerine eşit olabilir?
A) Yalnız |
B) Yalnız Il
D) Il ve II
C) I ve ll
E) 1, Il ve lil
Üç Basamaklı Sayılarda Bölünebilme Kuralları ve Rakam Permütasyonu
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- 5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır.
- 11 ile Bölünebilme Kuralı: Sayının basamakları sağdan sola + - + şeklinde işaretlenip toplandığında sonuç 11’in tam katı olmalıdır.
- Bölünebilme: Bir sayının A \times B şeklinde aralarında asal çarpanlara tam bölünmesi için hem A’ya hem de B’ye tam bölünmesi gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayının Rakam Yapısının Belirlenmesi
- Özgür’ün tuttuğu 3 basamaklı sayının rakamları kümesi 2 elemanlı olduğuna göre, sayının rakamlarından biri iki kez, diğeri bir kez kullanılmıştır.
- Bu rakamlar a ve b olsun. Rakamlar sıfırdan farklı olduğundan elde edilebilecek 3 farklı sayı:N_1 = aab, \quad N_2 = aba, \quad N_3 = baa
Adım 2 — 5 ile Bölünebilme Koşulunun Uygulanması
- Sayılardan yalnızca biri 5 ile tam bölünmektedir.
- Birler basamağında 5 olmalıdır.
- Eğer a = 5 olsaydı; N_2 = 5b5 ve N_3 = b55 sayılarının ikisi de 5 ile bölünürdü ve “yalnızca biri” kuralı bozulurdu.
- Dolayısıyla tek olan rakam b = 5 ve a \neq 5 olmalıdır.
- Sayılarımız: aa5, a5a ve 5aa biçimindedir.
Adım 3 — 11 ile Bölünebilme Koşulunun Uygulanması
- Yalnızca bir sayının 11 ile tam bölündüğü bilinmektedir:
- aa5 \implies +5 - a + a = 5 \not\equiv 0 \pmod{11} (Asla 11’e bölünmez)
- 5aa \implies +a - a + 5 = 5 \not\equiv 0 \pmod{11} (Asla 11’e bölünmez)
- a5a \implies +a - 5 + a = 2a - 5
- a5a sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için:2a - 5 = 11 \implies 2a = 16 \implies a = 8
- Böylece oluşturulan üç sayı kesin olarak belirlenir:N_1 = 885, \quad N_2 = 858, \quad N_3 = 588
Adım 4 — Öncüllerin K Değerleri İçin Test Edilmesi
-
I. K = 12 için (12 = 3 \times 4):
- 885: Tek sayı olduğu için 4’e bölünmez \implies 12’ye bölünmez.
- 858: Son iki basamağı (58), 4’e bölünmez \implies 12’ye bölünmez.
- 588: Rakamları toplamı 21 (3’e bölünür) ve son iki basamağı 88 (4’e bölünür). 588 / 12 = 49 \implies Bölünür.
- Yalnızca 1 sayı (588) tam bölünür. (I. öncül sağlanır)
-
II. K = 28 için (28 = 4 \times 7):
- 885 ve 858: 4’e bölünmedikleri için 28’e bölünemezler.
- 588: 588 / 28 = 21 \implies Bölünür.
- Yalnızca 1 sayı (588) tam bölünür. (II. öncül sağlanır)
-
III. K = 39 için (39 = 3 \times 13):
- 885: 885 / 39 = 22{,}69\dots \implies Bölünmez.
- 858: 858 / 39 = 22 \implies Bölünür.
- 588: 588 / 39 = 15{,}07\dots \implies Bölünmez.
- Yalnızca 1 sayı (858) tam bölünür. (III. öncül sağlanır)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) I, II ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. 11 ile Bölünebilme Kuralı
- Tanım: Bir sayının birler basamağından başlayarak sola doğru her basamağına sırasıyla +,-,+,-,\dots işaretleri verilip toplandığında elde edilen sayı 11’in katı olmalıdır.
- Bu problemde: a5a sayısının 11’e tam bölünmesi için 2a - 5 = 11 eşitliğinden a = 8 bulunmuştur.
2. Aralarında Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bileşik bir sayıya bölünebilmeyi incelemek için sayının aralarında asal çarpanlarına ayrı ayrı tam bölünüp bölünmediğine bakılır.
- Bu problemde: 12 için (3 ve 4), 28 için (4 ve 7), 39 için (3 ve 13) kuralları incelenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
5 ile bölünebilen basamağı yanlış seçmek
- Yanlış: İki kez tekrar eden rakamı 5 seçip (55a veya 5a5) iki farklı sayının 5’e bölünmesine yol açmak.
- Doğru: Yalnızca bir sayının 5’e bölünmesi için tek olan rakamın b = 5 olması gerekir.
- Neden yanlış: Tekrar eden rakam 5 seçilirse birler basamağı 5 olan 2 farklı sayı oluşur ve “yalnızca biri” şartı bozulur.
Benzer mantıkta küme ve bölünebilme kurallarını birleştiren yeni bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
@Egitim_Danismani cevap yanlış
Üç Basamaklı Sayılarda Bölünebilme Kuralları ve Rakam Permütasyonu
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- 5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır.
- 11 ile Bölünebilme Kuralı: Sayının basamakları sağdan sola + - + şeklinde işaretlenip toplandığında sonuç 11’in tam katı olmalıdır.
- Bölünebilme: Bir sayının A \times B şeklinde aralarında asal çarpanlarına tam bölünmesi için hem A’ya hem de B’ye tam bölünmesi gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayının Rakam Yapısının Belirlenmesi
- Özgür’ün tuttuğu 3 basamaklı sayının rakamları kümesi 2 elemanlı olduğuna göre, rakamlardan biri iki kez, diğeri bir kez kullanılmıştır.
- Bu rakamlar a ve b olsun. Sıfırdan farklı rakamlarla oluşturulabilecek tüm 3 basamaklı sayılar:N_1 = aab, \quad N_2 = aba, \quad N_3 = baa
Adım 2 — 5 ve 11 ile Bölünebilme Koşullarının İncelenmesi
- 5 ile bölünebilme: Sayılardan yalnızca biri 5’e bölündüğünden birler basamağında yalnız 1 tane 5 bulunmalıdır. Bu nedenle tek olan rakam b = 5 olmalı, a \neq 5 olmalıdır.
- Sayılar: aa5, a5a, 5aa
- 11 ile bölünebilme:
- aa5 \implies +5 - a + a = 5 (11’e bölünmez)
- 5aa \implies +a - a + 5 = 5 (11’e bölünmez)
- a5a \implies +a - 5 + a = 2a - 5
- a5a sayısının 11’e tam bölünmesi için:2a - 5 = 11 \implies 2a = 16 \implies a = 8
- Böylece 3 farklı sayı kesin olarak bulunur:885, \quad 858, \quad 588
Adım 3 — Sayıların Koşullarla Eşleştirilmesi
Soruda verilen 3 farklı bölünebilme şartı, bu 3 farklı sayı ile bire bir eşleşmektedir:
- 5 ile tam bölünen sayı: 885
- 11 ile tam bölünen sayı: 858
- K ile tam bölünen sayı: Geriye kalan 588 sayısı olmalıdır.
Adım 4 — Öncüllerin 588 Sayısı İçin Test Edilmesi
-
I. K = 12 için (12 = 3 \times 4):
- 588 sayısının rakamları toplamı 5 + 8 + 8 = 21 (3’e tam bölünür).
- Son iki basamağı 88 (4’e tam bölünür).
- 588 / 12 = 49 \implies Tam bölünür. (I. öncül doğrudur)
-
II. K = 28 için (28 = 4 \times 7):
- 588 sayısı 4’e tam bölünür (88 / 4 = 22).
- 588 / 7 = 84 \implies 7’ye tam bölünür.
- 588 / 28 = 21 \implies Tam bölünür. (II. öncül doğrudur)
-
III. K = 39 için (39 = 3 \times 13):
- 588 / 39 = 15{,}07\dots \implies Tam bölünmez. (III. öncül yanlıştır)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. 11 ile Bölünebilme Kuralı
- Tanım: Bir sayının birler basamağından başlayarak sola doğru her basamağına sırasıyla +,-,+ işaretleri verilip toplandığında elde edilen değer 11’in katı olmalıdır.
- Bu problemde: a5a sayısında +a - 5 + a = 2a - 5 = 11 \implies a = 8 olarak bulunmuştur.
2. Çoklu Bölünebilme Eşleştirmesi
- Tanım: Birbirinden farklı 3 kural ve 3 farklı sayı verildiğinde her bir kural farklı bir sayıyı temsil eder.
- Bu problemde: 885 sayısı 5 ile, 858 sayısı 11 ile eşleştiğinden, K sayısı geriye kalan 588 sayısının bir böleni olmak zorundadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
K çarpanını 858 üzerinden test etmek
- Yanlış: 858 sayısı 39’a tam bölündüğü için III. öncülü de dahil etmek.
- Doğru: 858 sayısı zaten 11 ile bölünen sayı olarak eşleştiğinden, K ile bölünen sayının 588 olması gerekir.
- Neden yanlış: Her şart farklı bir sayıyı nitelediği için K’nin böleceği sayı 588’dir; 588 ise 39’a tam bölünmez.
Bu tip bölünebilme ve basamak analizi sorularında takıldığın başka bir soru tipi var mı, benzer bir soruyla pekiştirelim mi?