ta
i e
Tanm ümesi A dlan bu fonksiyonun gôrüntü kürne-
nged eemaniardan A kümesine ait olanlar ckarlinca
ere 3 tare tarn say eleman kalrnaktadır.
Bua gire, m kaçtı?
B)3
D) 5
E) 6
Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi İlişkisi Analizi
Görseldeki soruda bir f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş ve bu fonksiyon üzerinden m değeri sorulmaktadır. Sorunun çözümünü adım adım gerçekleştirelim.
KULLANILAN FORMÜL VE KAVRAMLAR:
- Tanım Kümesi (A): Fonksiyonun x ekseni üzerindeki aralığıdır.
- Görüntü Kümesi (f(A)): Fonksiyonun y ekseni üzerindeki aralığıdır.
- Küme Farkı (f(A) \setminus A): Görüntü kümesinde olup tanım kümesinde olmayan elemanlar.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tanım Kümesinin (A) Belirlenmesi
Grafiğe baktığımızda fonksiyonun x ekseni üzerinde [-3, m] aralığında tanımlı olduğunu görüyoruz.
A = [-3, m]
Adım 2 — Görüntü Kümesinin (f(A)) Belirlenmesi
Grafikte fonksiyonun alabileceği en küçük y değeri -1, en büyük y değeri ise 7 olarak görülmektedir.
f(A) = [-1, 7]
Adım 3 — Koşulun Analiz Edilmesi
Soru bizden şunu istiyor: Görüntü kümesindeki elemanlardan A kümesine ait olanları çıkarınca geriye 3 tane tam sayı kalmaktadır. Matematiksel olarak:
f(A) \setminus A \text{ kümesinde 3 tane tam sayı vardır.}
Adım 4 — Elemanların Karşılaştırılması
- f(A) = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} (Tam sayılar)
- A = [-3, m]
Görüntü kümesinden A kümesini çıkardığımızda geriye kalan tam sayılar, m değerinden büyük olan tam sayılar olmalıdır. Çünkü [-1, m] aralığındaki tüm tam sayılar zaten A kümesinin içindedir (Eğer m \geq -1 ise).
Geriye kalan 3 tam sayı, görüntü kümesinin en üst sınırındaki sayılar olmalıdır:
Geriye kalan sayılar: 5, 6 ve 7 olmalıdır.
Adım 5 — m Değerinin Hesaplanması
Geriye kalan sayıların \{5, 6, 7\} olabilmesi için, A kümesinin üst sınırı olan m sayısının 4 olması gerekir.
- Eğer m = 4 ise, A = [-3, 4] olur.
- f(A) = [-1, 7] aralığındaki tam sayılardan [-3, 4] aralığında olmayanlar: \{5, 6, 7\} olur.
- Bu da tam olarak soruda istenen “3 tane tam sayı kalır” şartını sağlar.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tanım Kümesi
- Tanım: Fonksiyonun girdi değerlerinin (x) kümesidir.
- Bu problemde: Grafikte x ekseni boyunca (-3) noktasından başlayıp m noktasına kadar devam eden bölgedir.
2. Görüntü Kümesi
- Tanım: Fonksiyonun çıktı değerlerinin (y) kümesidir.
- Bu problemde: Grafikte y ekseni boyunca en alt nokta olan (-1) ile en üst nokta olan 7 arasındaki bölgedir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Aralığı Yanlış Okumak
- Yanlış: Görüntü kümesini [0, 7] olarak almak.
- Doğru: Grafiğin en alt noktası x=-1 hizasındadır, bu yüzden [-1, 7] aralığı baz alınmalıdır.
- Neden: Fonksiyonun alt sınırı y ekseninde -1’e dokunmaktadır.
Bu fonksiyonun artan veya azalan olması durumu m değerini nasıl etkilerdi, bu konuda bir yorum yapmak ister misin?