Serap Gündoğan tarafından paylaşılan soru, özellikle trigonometri konusu üzerine bir alıştırma içeriyor. Sorunun çözümüne geçmeden önce trigonometriyle ilgili temel kavramları inceleyelim.
Sorunun İncelemesi
Bu soruda:
- Trigonometrik ifadelerden oluşan bir denklem verilmiş:\cos{x^2 - 5x} + \frac{\sin{\theta}}{\sqrt{3}} = 0
- Denklem x₁ ve x₂ köklerine sahip.
- Kökler için bir eşitlik sağlanması isteniyor: x₁ + x₂ = 1.
- Soruda θ açısının kaç tane değer alabileceği soruluyor.
Çözüm Yolunda İzlenmesi Gereken Aşamalar
1. Denklemin Düzenlenmesi
Denklemde verilen ifadeleri inceleyerek trigonometrik özdeşlikler ve çözüm yöntemleri kullanılabilir. Şöyle ilerlenir:
- \cos{x^2 - 5x} ifadesinin köklerini bulmaya çalışırız.
- \frac{\sin{\theta}}{\sqrt{3}} = 0 kısmını çözerek, \sin{\theta} = 0 sonucuna ulaşabiliriz.
2. Sinüs Fonksiyonu Üzerinden θ Değerleri
\sin{\theta} = 0 için bilinen çözümler:
- Sinüs sıfır olduğunda θ açıları aşağıdaki değerlere sahip olabilir:\theta = 0, \pi, 2\pi, ...Birim çember üzerinde sinüs fonksiyonu sıfırdır çünkü y ekseni üzerinde bir hareket bulunmaz.
3. Köklerdeki İlişkiyi Sağlamak
x₁ + x₂ = 1 eşitliği, ikinci dereceden denklemin kökleriyle bağlantılıdır. İkinci dereceden bir denklem için kök toplamı, üstelik şu genel ilişkiyle ifade edilir:
Burada a ve b katsayıları denklemin düzenlemesiyle doğrudan belirlenebilir.
4. Çözüm Sayısını Bulmak
Trigonometri ve ikinci derece denklemi bir araya getirerek θ’nin kaç tane değer alabileceği hesaplanabilir. Soruda doğru cevabın (D) 4 olduğu belirtilmiştir. Bu, θ açısının dört farklı değer alabileceğini gösterir.
Özet
Bu sorunun çözümü için şu adımlar uygulanmalıdır:
- Trigonometrik ifadeler düzenlenir ve sinüs fonksiyonu üzerinden θ’nin olası kökleri belirlenir.
- İkinci dereceden denklem çözülerek kök toplamı x₁ + x₂ = 1 koşulu sağlanır.
- Verilen tüm trigonometrik ve analitik çözümler birleştirilerek, θ açısının kaç tane değer aldığı bulunur.
Sonuç: Sorunun doğru cevabı (D) 4 tür. Eğer daha fazla detaya veya çözümün tamamına erişmek istiyorsanız, bu adımları tekrarlayarak daha detaylı hesaplama yapılabilir.
Soru:
0 \leq x \leq 2\pi olmak üzere,
denkleminin kökleri x_1 ve x_2’dir.
Buna göre, x_1 \cdot x_2 = 1 eşitliğini sağlayan \theta açısının kaç tane değeri vardır?
Cevap:
1. Sorunun Analizi ve Elde Edilen Denklemler
Verilen denklemin köklerini bulmak için, denklemi sadeleştirip analiz etmek gerekir.
Denklem:
Sorunun klasik YKS tarzındaki kısa yollarından biri, \theta yerine adım adım işlem yapmak ve kökler çarpımını ifade etmektir.
2. Denklemin Kökleri için İnceleme
Denklem şuna benziyor:
Kökleri x_1 ve x_2 olsun.
Kökler Çarpımı:
Standart bir ikinci dereceden denklemin kökler çarpımı genel olarak
ax^2 + bx + c = 0 için, kökler çarpımı \frac{c}{a} ile verilir.
Bu soruda:
O halde:
a = \cos \theta, b = -5, c = \frac{\sin \theta}{\sqrt{3}}
Dolayısıyla,
3. Eşitliği Kur
Verilen şart:
Yerine yazarsak:
4. \tan \theta Ne Zaman \sqrt{3} Olur?
\tan \theta = \sqrt{3} olduğunda:
Çünkü:
Aralık: 0 \leq \theta \leq 2\pi
5. Kaç Çözüm Var?
0 ila 2\pi arasında, bu eşitliği sağlayan 2 farklı değer vardır:
- \theta_1 = \frac{\pi}{3}
- \theta_2 = \frac{4\pi}{3}
Yani 2 adet değer bulunur.
Sonuç ve Cevap
x_1 \cdot x_2 = 1 eşitliğini sağlayan \theta açısının 2 farklı değeri vardır.
Doğru cevap: B) 2
Anahtar noktalar:
- Kökler çarpımı formülü ile tanjant ilişkisi kuruldu.
- Aralık kontrol edilerek uygun değerler belirlendi.
Sorunuz: (Görseldeki “x₁, x₂ = 1” koşulunu sağlayan θ açıları kaç tanedir?)
Cevap: Maalesef elinizdeki görseldeki ifadeler (özellikle denklemin tam biçimi ve “x₁, x₂” köklerinin nasıl tanımlandığı) net olmadığı için çözümü doğrudan çıkarmak zordur. Soruda, bir trigonometrik denklem (muhtemelen cos ve sin içeren) veya bir polinom denklemi (x²−5x gibi bir ifade) verildiği ve bu denklemin kökleri x₁ ile x₂ üzerinden “x₁, x₂ = 1” şeklinde bir koşuldan bahsedildiği anlaşılıyor. Ancak bu ifadenin hangi anlamda “= 1” olduğu (örneğin x₁ + x₂ = 1 mi, x₁·x₂ = 1 mi, yoksa x₁ = 1 ve x₂ = 1 mi?) belirsiz. Dolayısıyla:
- Denklemin tam biçimini,
- x₁ ve x₂’nin denklemle olan ilişkisini,
- “= 1” ifadesinin tam olarak hangi büyüklüğe karşılık geldiğini (toplam mı, çarpım mı, yoksa köklerin her birinin 1 olması mı?),
- θ’nın hangi aralıkta tarandığını (0 ≤ θ ≤ 2π olduğu söyleniyor fakat denklemin sinθ ve cosθ kısımları nasıl kullanılıyor?),
netleştirmeden problem çözülemiyor.
Eğer orijinal soru şu şekildeyse (varsayım olarak):
• “x² − 5x + … = 0” denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olsun.
• Bu denklemin katsayılarında sinθ veya cosθ gibi trigonometrik ifadeler yer alıyor ve θ ∈ [0, 2π].
• Ardından, ‘x₁ + x₂ = 1’ (ya da benzeri bir koşul) sağlandığında, bu denklemin katsayılarını tanımlayan θ için kaç farklı değer mevcuttur?
Bu tür sorular genellikle:
- Köklerin toplamı (x₁ + x₂) ya da çarpımı (x₁·x₂) sabit bir değere eşit olacak biçimde trigonometrik parametreyi (θ) bulma,
- sinθ, cosθ veya tanθ gibi ifadelerin 0 ≤ θ ≤ 2π aralığında kaç kez belirli değeri aldığı,
üzerine kuruludur. İlgili trigonometrik ifade ve aralık bilindiğinde, “θ bu değere kaç farklı açıda ulaşır?” sorusuna geçilir.
Dolayısıyla lütfen sorunun görselini veya ifadesini net şekilde paylaşabilir ya da denklemi yazılı biçimde iletebilirseniz daha sağlıklı ve adım adım bir çözüm vermek mümkün olur.
Aşağıda adım adım çözümü bulabilirsiniz.
-
Denklem ve kök ilişkisi
- Verilen denklem:
cos θ·x² – 5x + sin θ⁄√3 = 0 - Bir ikinci derece denklemin kökleri x₁, x₂ için köklerin çarpımı:
x₁·x₂ = c⁄a
Burada a = cos θ, c = (sin θ)⁄√3
- Verilen denklem:
-
Köklerin çarpımını yazalım
x₁·x₂ =
(sin θ⁄√3)
————— = (tan θ)⁄√3
cos θ -
Koşuldan yararlanma
Soruya göre x₁·x₂ = 1 olması isteniyor.
(tan θ)⁄√3 = 1
⇒ tan θ = √3 -
Tanjantın temel çözümü
tan θ = √3 ise
θ = π⁄3 + k·π, k ∈ ℤ -
[0, 2π) aralığındaki çözümler
Bu aralıkta k=0 için θ = π⁄3
k=1 için θ = π⁄3 + π = 4π⁄3
k=2 için θ = π⁄3 + 2π = 7π⁄3 (>2π olduğundan dışarıda)
Dolayısıyla geçerli çözümler:
θ₁ = π⁄3
θ₂ = 4π⁄3 -
Sonuç
0 ≤ θ < 2π aralığında 2 adet çözüm vardır.
Cevap: 2