Tanjant değeri

[Easy]

[Ders_Asistani (Ders ve Ödev Rehberi)]

Sorunun Çözümü: Tanjant Değeri ve A, B, C Toplamı

---

Verilenler

1. Fonksiyon: f(x) = 2x^2
2. A Noktası: A(a, b)
3. B Noktası: B(1, c)
4. O Noktası: Dik koordinat düzleminin başlangıç noktası (0, 0).
5. Tanjant Değeri: \tan(\angle AOB) = \frac{4}{13}
6. Hedef: a + b + c ’nin toplamını bulmak.

---

Adım 1: Grafikteki Nokta Koordinatlarını Belirleme

Fonksiyonun grafiği f(x) = 2x^2 olduğu için, y = f(x) denklemi ile verilen noktalar aşağıdaki şekilde bulunur:

1. A Noktası: A(a, b)
   • b = 2a^2 (Fonksiyonda x = a yerine koyarak).
2. B Noktası: B(1, c)
   • c = 2(1)^2 = 2 (Fonksiyonda x = 1 yerine koyarak).

---

Adım 2: OAB Üçgeninde Tanjant Değeri

Tanjant, dik üçgende karşı kenarın komşu kenara oranıdır:

\tan(\angle AOB) = \frac{\text{Karşı Kenar (OB)}}{\text{Komşu Kenar (OA)}}

1. OA Uzunluğu:

   • O = (0, 0), A = (a, b)
   • Uzunluk formülü: OA = \sqrt{a^2 + b^2}

2. OB Uzunluğu:

   • O = (0, 0), B = (1, c)
   • Uzunluk formülü: OB = \sqrt{1^2 + c^2} = \sqrt{1 + c^2}

---

Adım 3: Tanjant Oranını Kullanalım

Verilen \tan(\angle AOB) = \frac{4}{13} , bu oran şu şekilde yazılabilir:

\tan(\angle AOB) = \frac{\text{OB}}{\text{OA}} = \frac{4}{13}

Yerine koyarak oranı bulalım:

\frac{\sqrt{1 + c^2}}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{4}{13}

---

Adım 4: a, b, c ’nin Koordinatlarını Çıkaralım

Noktaları yerine koyduğumuzda:

1. b = 2a^2
2. c = 2

Bunları oran denklemine koyarak çözelim:

\frac{\sqrt{1 + 2^2}}{\sqrt{a^2 + 2a^2}} = \frac{4}{13}

Bu ifadeyi çözmek için adım adım ilerleyelim:

1. OB Uzunluğu:

   \sqrt{1 + c^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

2. OA Uzunluğu:

   \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3}a

Tanjant eşitliğini düzenleyelim:

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}a} = \frac{4}{13}

---

Adım 5: a ’yı Bulma

Çapraz çarpma yapalım:

13\sqrt{5} = 4\sqrt{3}a

Her iki tarafı \sqrt{3} ’e bölelim:

a = \frac{13\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}

Buradan a ’nın yaklaşık değerini alabiliriz, fakat toplamı doğru şekilde bulmak için sade ham değer üzerinden ilerliyoruz.

---

Adım 6: Toplama

Son olarak a + b + c ’yi bulalım. Verilen b = 2a^2 ve c = 2 değerlerini yerine koyarak:

a + b + c = a + 2a^2 + 2

Hesapladığımız a ’yı yerine koyarak toplam:

Sonuç olarak:
Cevap: A) .

---

Özet Çözüm Tablosu

Nokta	Koordinatlar	Hesaplama Sonucu
A	(a, b)	b = 2a^2
B	(1, c)	c = 2
a + b + c	Toplam	Grafik ve tanjant oranından bulunur.

[Uzman_Cevap (Openai answers)]

28. Soru Çözümü

[Soru:] a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere; Nevra, dik koordinat düzleminde f(x) = 2x² fonksiyonunun grafiğini çizip bu grafik üzerindeki A(a, b) ve B(1, c) noktalarını işaretliyor. O noktası dik koordinat düzleminin başlangıç noktası olmak üzere, AOB açısının tanjant değerini hatasız hesaplayan Nevra bu değeri 4/13 olarak buluyor. Buna göre, a + b + c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap:

Table of Contents

1. Problem Tanımı
2. Noktaların Belirlenmesi
3. Tanjant Formülü ve AOB Açısı
4. Adım Adım Çözüm
5. Özet ve Sonuç

1. Problem Tanımı

f(x) = 2x² parabolü üzerinde iki nokta A(a, b) ve B(1, c) veriliyor. O (0,0) orijin olmak üzere, O, A ve B noktalarının oluşturduğu AOB açısının tanjant değerinin 4/13 olduğu söyleniyor. Bizden a + b + c toplamını bulmamız isteniliyor.

2. Noktaların Belirlenmesi

f(x) = 2x² üzerinde herhangi bir (x, y) noktası için y = 2x² geçerlidir. Buna göre:

• Nokta A(a, b) parabol üzerindeyse b = 2a²’dir.
• Nokta B(1, c) parabol üzerindeyse x = 1 olduğunda c = 2(1)² = 2 olur. Yani B = (1, 2).

3. Tanjant Formülü ve AOB Açısı

O noktası orijin olduğuna göre OA ve OB doğrularının eğimleri:

• OA doğrusu: Eğim = b/a = (2a²)/a = 2a
• OB doğrusu: Eğim = 2/1 = 2

İki doğru arasındaki (AOB) açısının tanjantı, iki eğim m₁ ve m₂ kullanılarak:

\tan(\theta) \;=\; \biggl|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1\,m_2}\biggr|

formülüyle bulunur. Burada m₁ = 2a ve m₂ = 2’dir. Verilen değere göre:

\frac{(2a - 2)}{1 + (2a)(2)} = \frac{4}{13}.

4. Adım Adım Çözüm

1. Formülü eşitleyin:
   $
   \frac{2a - 2}{1 + 4a} = \frac{4}{13}.
   $

2. İçler dışlar çarpımı yapın:
   $
   13(2a - 2) = 4(1 + 4a).
   $

3. Dağıtın ve sadeleştirin:
   $
   26a - 26 = 4 + 16a.
   $

4. a değişkenini çözün:
   $
   26a - 16a = 4 + 26 \quad \Rightarrow \quad 10a = 30 \quad \Rightarrow \quad a = 3.
   $

5. b değerini bulun (Parabolden b = 2a²):
   $
   b = 2(3²) = 2(9) = 18.
   $

6. c değerini zaten bulmuştuk (B noktası (1, 2)):
   $
   c = 2.
   $

7. a + b + c ifadesini hesaplayın:
   $
   a + b + c = 3 + 18 + 2 = 23.
   $

5. Özet ve Sonuç

• Nokta A: (a, b) = (3, 18)
• Nokta B: (1, 2)
• AOB açısının tanjantı 4/13 olacak şekilde a = 3 bulunur.
• Buna göre a + b + c = 23.

Cevap: 23

Adım	Yapılan İşlem	Sonuç
1. a ve b ilişkisi	b = 2a²	-
2. c değeri	c = 2(1)² = 2	c = 2
3. Eğimler	m₁ = 2a, m₂ = 2	-
4. Tan(θ) = 4/13	(2a - 2) / (1 + 4a) = 4/13	-
5. a’nın bulunması	10a = 30 → a = 3	a = 3
6. b’nin hesaplaması	b = 2·(3²) = 18	b = 18
7. Toplam	3 + 18 + 2	23

Kısa Özet:
f(x) = 2x² parabolü üzerinde A(a, 2a²) ve B(1, 2) noktaları alınır. AOB vektörleri arasındaki açı tanjantı 4/13 ise a = 3 bulunur. Böylece b = 18 ve c = 2, toplam 23 olur.

@Easy