Tanım kümesi tam sayılar olan 1 ve 2 girdiğinde, f(x) = x + /4 g(x) = x - 1/2 biçiminde tanımlanıyor

YKS TYT
1

Tanım kümesi tam sayılar olan 1 ve 2 girdiğinde,

f(x) = x + /4

g(x) = x - 1/2

biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre

I. f o g o g
II. f o g o f
III. g o g

bileşke fonksiyonlarından hangilerinin görüntü kümesi yalnızca tam sayılardan oluşur?

A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) II ve III

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 151 KB

2

Verilen bileşke fonksiyonlardan hangilerinin görüntü kümesi yalnızca tam sayılardan oluşur?

f(x) = x + \frac{3}{4} ve g(x) = x - \frac{1}{2} veriliyor.
Bileşke fonksiyonlarda amaç, ifadeyi ardışık yerine koyarak çıkan sonucun her zaman tam sayı olup olmadığını kontrol etmektir. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, \frac{3}{4} ve \frac{1}{2} gibi kesirlerin birbirini nasıl etkilediğidir.

Çözüm Adımları:

Adım 1 — I. bileşkeyi bulalım: f \circ g \circ g
Önce g(x) uygulanır:

g(x)=x-\frac{1}{2}

Bir kez daha g uygulanır:

g(g(x))=\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=x-1

Şimdi f uygulayalım:

f(g(g(x)))=(x-1)+\frac{3}{4}=x-\frac{1}{4}

Bu sonuç tam sayı değildir, çünkü x tam sayı olsa bile \frac{1}{4} kadar eksik kalır.

Adım 2 — II. bileşkeyi bulalım: f \circ g \circ f
Önce f(x) uygulanır:

f(x)=x+\frac{3}{4}

Sonra g uygulanır:

g(f(x))=\left(x+\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{2}=x+\frac{1}{4}

Şimdi tekrar f uygulayalım:

f(g(f(x)))=\left(x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=x+1

Bu sonuç tam sayıdır.

Adım 3 — III. bileşkeyi bulalım: g \circ g

g(g(x))=\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=x-1

Bu sonuç tam sayıdır.

Seçenek Karşılaştırması:

  • I. f \circ g \circ g → x-\frac{1}{4} → tam sayı değil
  • II. f \circ g \circ f → x+1 → tam sayı
  • III. g \circ g → x-1 → tam sayı

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: E) II ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Temel Kavramlar:

1. Bileşke Fonksiyon

  • Tanım: Bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyonun girdisi yapmakla elde edilir.
  • Bu problemde: Fonksiyonlar art arda uygulanarak kesirlerin nasıl sadeleştiği incelendi.

2. Tam Sayı Görüntü Kümesi

  • Tanım: Fonksiyonun alabileceği tüm değerlerin tam sayı olması durumudur.
  • Bu problemde: Sonucun her x \in \mathbb{Z} için tam sayı olup olmadığı kontrol edildi.

Sık Yapılan Hatalar:

:cross_mark: Sadece bir kez işlem yapmak

  • Yanlış: f(g(x)) ile yetinmek
  • Doğru: Verilen tüm bileşkeyi sırayla uygulamak
  • Neden yanlış: Bileşke sayısı kadar işlem yapılmalıdır.

:cross_mark: Kesirli terimlerin sonunda tam sayı verip vermediğini kontrol etmemek

  • Yanlış: x+\frac{1}{4} ifadesini tam sayı sanmak
  • Doğru: Tam sayı için kesirli kısmın olmaması gerekir
  • Neden yanlış: x tam sayı olsa bile \frac{1}{4} varsa sonuç tam sayı olmaz.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Soru: Tanım kümesi tam sayılar olan f ve g fonksiyonları için birleşke fonksiyonların görüntü kümesi.

Verilenler:

  • f(x) = x + \frac{3}{4}
  • g(x) = x - \frac{1}{2}
  • Tanım kümesi: Tam sayılar (Z)
  • İncelenecek bileşke fonksiyonlar:
    1. f \circ g \circ g (I)
    2. f \circ g \circ f (II)
    3. g \circ g (III)

Amaç: Bu üç bileşke fonksiyondan hangilerinin görüntü kümesi yalnızca tam sayılar olur?

Çözüm Adımları:

Adım 1 — Bileşke fonksiyonların formüllerinin açılması

  • g \circ g (x) = g(g(x))

    İlk olarak g(x) = x - \frac{1}{2} olduğuna göre:

    g(g(x)) = g\left(x - \frac{1}{2}\right) = \left(x - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} = x - 1

  • f \circ g (x) = f(g(x))

    f(g(x)) = f\left(x - \frac{1}{2}\right) = \left(x - \frac{1}{2}\right) + \frac{3}{4} = x + \frac{1}{4}

  • g \circ f (x) = g(f(x))

    g(f(x)) = g\left(x + \frac{3}{4}\right) = \left(x + \frac{3}{4}\right) - \frac{1}{2} = x + \frac{1}{4}

Adım 2 — Sırayla bileşke fonksiyonların açılması

I. f \circ g \circ g (x) = f(g(g(x))) = f(x - 1) = (x - 1) + \frac{3}{4} = x - \frac{1}{4}

  • Görüntü kümesi için x \in \mathbb{Z} (tam sayı)
  • f \circ g \circ g (x) = x - \frac{1}{4}
  • Tam sayıdan \frac{1}{4} çıkarırsak sonuç kesirli olur, yani tam sayı değil.
  • Sonuç: Bileşkenin görüntü kümesi tam sayılardan oluşmaz.

II. f \circ g \circ f (x)

İlk olarak g \circ f (x)'i bulduk: g(f(x)) = x + \frac{1}{4}
Şimdi f(g(f(x))) = f(x + \frac{1}{4}) = \left(x + \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{4} = x + 1

  • Burada sonuç x + 1 yani tam sayı (çünkü x tam sayı)
  • Sonuç: Görüntü kümesi tam sayılardan oluşur.

III. g \circ g (x) = x - 1

  • Tam sayıdan 1 çıkarılırsa sonuç yine tam sayıdır.
  • Sonuç: Görüntü kümesi tam sayılardan oluşur.

Adım 3 — Sonuçların karşılaştırılması

Bileşke Fonksiyon Görüntü Kümesi Tam Sayı mı?
I) f \circ g \circ g Hayır
II) f \circ g \circ f Evet
III) g \circ g Evet

Adım 4 — Sorunun cevabı

:white_check_mark: Doğru seçenek: E) II ve III

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?