- Aşağıda gösterilen üç mavi üçgenin her birinin etrafinda 3
tane daire olup bu dairelere 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayıları her
daireye farklı bir sayı gelecek şekilde yerleştirilecektir.
onra
gru
Mavi üçgenlerden her birinin bağlı olduğu üç dairedeki
sayıların toplamı eşit olduğuna göre, a + b toplamı kaç
farklı değer alır?
A) 1
B) 2
c) 3
D) 4
E) 5
Üçgenlerin Köşelerindeki Sayıların Toplamı Eşitliği Problemi
KULLANILAN FORMÜL / MANTIK: Bu problemde, her bir mavi üçgenin köşelerindeki sayıların toplamının birbirine eşit olması kuralını kullanacağız. Verilen sayılar kümesi S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olup, her sayı bir kez kullanılacaktır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri ve Denklemleri Belirleme
Şekildeki dairelere yerleştirilecek sayıları harflerle temsil edelim:
- Üstteki üçgenin köşeleri: 1, 6, a
- Sol alttaki üçgenin köşeleri: 6, b, x (Sol alt köşe x olsun)
- Sağ alttaki üçgenin köşeleri: a, b, y (Sağ alt köşe y olsun)
Her üçgenin toplamı K olsun:
- 1 + 6 + a = K \Rightarrow 7 + a = K
- 6 + b + x = K
- a + b + y = K
Adım 2 — Toplam Değeri (K) Üzerinden Analiz Yapma
Birinci denklemden a = K - 7 olduğunu biliyoruz. Bunu diğer denklemlere yerleştirelim:
- 6 + b + x = K
- (K - 7) + b + y = K \Rightarrow b + y = 7
Elimizdeki sayılar: \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Görselde 1 ve 6 zaten yerleşmiş durumda. Kalan sayılar: \{2, 3, 4, 5\}. Değişkenlerimiz ise \{a, b, x, y\}.
Adım 3 — Olası Durumları İnceleme
b + y = 7 şartını sağlayan kalan sayı çiftleri şunlardır:
- Durum 1: \{b, y\} = \{2, 5\}
- Durum 2: \{b, y\} = \{3, 4\}
Şimdi bu durumlar için a ve x değerlerini kontrol edelim:
-
Durum 1: b=2, y=5 (veya tam tersi)
Kalan sayılar \{3, 4\} olur. Bu durumda \{a, x\} = \{3, 4\} olmalıdır.- Eğer a=3 ise: K = 7 + a = 10. İkinci denklem: 6 + 2 + x = 10 \Rightarrow x = 2. Ancak 2 zaten b için kullanıldı, bu durum geçersizdir.
- Eğer a=4 ise: K = 7 + a = 11. İkinci denklem: 6 + 2 + x = 11 \Rightarrow x = 3. Bu durumda \{a, b, x, y\} = \{4, 2, 3, 5\} olur. Tüm sayılar farklıdır.
- a+b değeri: 4 + 2 = 6 (veya b=5 ise a+b değişir, kontrol edelim).
- Eğer b=5, y=2 ve a=4 ise: K=11, 6+5+x=11 \Rightarrow x=0 (geçersiz).
- Eğer b=5, y=2 ve a=3 ise: K=10, 6+5+x=10 \Rightarrow x=-1 (geçersiz).
-
Durum 2: b=3, y=4 (veya tam tersi)
Kalan sayılar \{2, 5\} olur. \{a, x\} = \{2, 5\} olmalıdır.- Eğer a=2 ise: K = 7 + a = 9. İkinci denklem: 6 + 3 + x = 9 \Rightarrow x = 0 (geçersiz).
- Eğer a=5 ise: K = 7 + a = 12. İkinci denklem: 6 + 3 + x = 12 \Rightarrow x = 3. Ancak 3 zaten kullanıldı, bu durum geçersizdir.
- Eğer b=4, y=3 ve a=2 ise: K=9, 6+4+x=9 \Rightarrow x=-1 (geçersiz).
- Eğer b=4, y=3 ve a=5 ise: K=12, 6+4+x=12 \Rightarrow x=2. Bu durumda \{a, b, x, y\} = \{5, 4, 2, 3\} olur. Tüm sayılar farklıdır.
- a+b değeri: 5 + 4 = 9.
Adım 4 — Sonuçları Toplama
Geçerli dizilimleri tekrar kontrol ettiğimizde:
- a=4, b=2, x=3, y=5 \Rightarrow a+b = 6
- a=5, b=4, x=2, y=3 \Rightarrow a+b = 9
Başka bir tam sayı kombinasyonu tüm sayıların farklı olması kuralını sağlamamaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2 farklı değer alır. (B seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Denklem Kurma
- Tanım: Verilen sözel veya görsel verileri matematiksel ifadelere dönüştürme.
- Bu problemde: Üçgenlerin toplam sabitini (K) kullanarak değişkenler arası ilişki kurulmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayı Tekrarı
- Yanlış: Çözümde aynı sayıyı iki farklı daireye yerleştirmek.
- Doğru: Her adımda kullanılan sayıları kümeden eleyerek ilerlemek.
- Neden Yanlış: Soru kökünde “her daireye farklı bir sayı” geleceği açıkça belirtilmiştir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir sayı yerleştirme sorusu çözmemi ister miydin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Üçgenlerin Köşelerindeki Sayıların Toplamı Eşitliği Problemi
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Sayılar kümesi: \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Görselde 1 ve 6 yerleştirilmiştir. Kalan sayılar: \{2, 3, 4, 5\}.
Adım 1 — Denklemleri Kurma
Her üçgenin toplamı K olsun:
- Üst Üçgen: 1 + 6 + a = K \Rightarrow 7 + a = K
- Sol Alt Üçgen: 6 + b + x = K
- Sağ Alt Üçgen: a + b + y = K
Adım 2 — Değerleri Deneme
-
Durum 1 (a=4 için):
K = 7 + 4 = 11 olur.
6 + b + x = 11 \Rightarrow b + x = 5
4 + b + y = 11 \Rightarrow b + y = 7
Kalan sayılar \{2, 3, 5\} içinden b=2 seçilirse; x=3 ve y=5 olur. Tüm sayılar farklıdır.
a+b = 4+2 = 6 -
Durum 2 (a=5 için):
K = 7 + 5 = 12 olur.
6 + b + x = 12 \Rightarrow b + x = 6
5 + b + y = 12 \Rightarrow b + y = 7
Kalan sayılar \{2, 3, 4\} içinden b=4 seçilirse; x=2 ve y=3 olur. Tüm sayılar farklıdır.
a+b = 5+4 = 9
Diğer a değerleri (2 ve 3) denendiğinde sayı tekrarı oluşur veya rakamlar yetmez.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2 (B seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Anlaşılmayan bir nokta kaldı mı, yoksa benzer bir mantık sorusuyla devam edelim mi?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Üçgenlerin Köşelerindeki Sayıların Toplamı Eşitliği Problemi
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Elimizdeki sayılar \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olup 1 ve 6 yerleşmiştir. Kalan sayılar: \{2, 3, 4, 5\}. Üçgenlerin toplamı K olsun.
Adım 1 — Değişken İlişkilerini Belirleme
- Üst üçgen: 1 + 6 + a = K \Rightarrow \mathbf{a = K - 7}
- Sol alt üçgen (x köşe): 6 + b + x = K
- Sağ alt üçgen (y köşe): a + b + y = K \Rightarrow (K-7) + b + y = K \Rightarrow \mathbf{b + y = 7}
Adım 2 — Geçerli Durumları Bulma
b + y = 7 şartını kalan sayılardan \{2, 5\} veya \{3, 4\} ikilileri sağlar.
-
Birinci Değer: \{b, y\} = \{2, 5\} ve \{a, x\} = \{4, 3\} seçilirse:
- a=4 için K=11 olur.
- 6 + b + x = 11 \Rightarrow b+x=5. Burada b=2, x=3 ve y=5 seçilirse tüm sayılar farklı olur.
- a+b = 4+2 = 6
-
İkinci Değer: \{b, y\} = \{4, 3\} ve \{a, x\} = \{5, 2\} seçilirse:
- a=5 için K=12 olur.
- 6 + b + x = 12 \Rightarrow b+x=6. Burada b=4, x=2 ve y=3 seçilirse tüm sayılar farklı olur.
- a+b = 5+4 = 9
Diğer kombinasyonlarda sayı tekrarı oluştuğu için sadece bu 2 farklı toplam değeri elde edilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2 (B seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu çözüm senin için yeterince açık oldu mu, yoksa takıldığın bir işlem basamağı var mı?
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Üçgenlerin Köşelerindeki Sayıların Toplamı Eşitliği Problemi
KULLANILAN MANTIK:
Bu soruda her bir mavi üçgenin etrafındaki 3 dairenin toplamı aynı sayıya (K) eşit olmalıdır. \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} sayılarından her birini sadece bir kez kullanacağız. 1 ve 6 zaten yerleşmiş durumdadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kalan Sayıları Belirleme
Dairelere yerleşecek sayılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Kullanılanlar: 1, 6
Kalan boş daireler için elimizdeki sayılar: \{2, 3, 4, 5\}
Adım 2 — Üst Üçgenden Toplamı (K) Belirleme
Üstteki mavi üçgenin köşelerinde 1, 6 ve a vardır.
Toplam: K = 1 + 6 + a = \mathbf{7 + a}
Adım 3 — Alt Üçgenleri Analiz Etme
- Sağ Alt Üçgen: Köşeleri a, b ve boş olan sağ alt köşe (y).
a + b + y = K (Burada K yerine 7+a yazalım)
a + b + y = 7 + a \Rightarrow \mathbf{b + y = 7} - Sol Alt Üçgen: Köşeleri 6, b ve boş olan sol alt köşe (x).
6 + b + x = K
Adım 4 — Sayıları Yerleştirme ve a+b Değerlerini Bulma
b + y = 7 şartını sağlayan kalan sayılarımız \{2, 5\} veya \{3, 4\} ikilileridir.
-
Durum (a+b = 6 değeri):
- b=2 ve y=5 olsun (Toplamları 7).
- Geriye \{3, 4\} sayıları kalır. a=4 ve x=3 olarak yerleştirelim.
- Kontrol: K = 7+4=11 olur. Sol üçgen: 6+2+3=11 (Doğru).
- Sonuç: a+b = 4+2 = \mathbf{6}
-
Durum (a+b = 9 değeri):
- b=4 ve y=3 olsun (Toplamları 7).
- Geriye \{2, 5\} sayıları kalır. a=5 ve x=2 olarak yerleştirelim.
- Kontrol: K = 7+5=12 olur. Sol üçgen: 6+4+2=12 (Doğru).
- Sonuç: a+b = 5+4 = \mathbf{9}
Diğer denemelerde (örneğin b=3 veya b=5 seçildiğinde) ya sayılar birbirini tekrar eder ya da toplamlar eşitlenmez.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: a+b toplamı 2 farklı değer (6 ve 9) alır. (B seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Adım adım bu yerleştirme mantığı anlaşıldı mı? Benzer bir mantık yürütme sorusuyla pratik yapmak ister misin?