K = 21 + 201 + 2001+... +2000...01 olmak üzere,
K sayısınin toplaminda verilen en son terimin içinde 33
tane 0 rakamı vardır.
Buna göre, K tam sayısınin rakamları toplamı kaçtır?
A) 75
B) 80
C) 94
D) 1021103
7. A
Se
K Tam Sayısının Rakamları Toplamı
KULLANILAN YÖNTEM: Verilen her terimi 2 \times 10^n + 1 şeklinde ifade ederek toplamı basamak değerlerine göre düzenleme ve ardından rakamları toplama.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Terimleri Ayırma ve Diziyi Belirleme
Verilen K sayısı K = 21 + 201 + 2001 + \dots + 200...01 şeklinde bir toplama işlemidir. Her terimi 2 \times 10^n + 1 formunda yazabiliriz.
- Birinci terim: 21 = 2 \times 10^1 + 1
- İkinci terim: 201 = 2 \times 10^2 + 1
- Üçüncü terim: 2001 = 2 \times 10^3 + 1
Son terimde 33 tane 0 rakamı olduğuna göre, son terim 2 \underbrace{00...0}_{33 \text{ tane}}1 şeklindedir. Bu terim 2 \times 10^{34} + 1 olarak ifade edilir.
Bu durumda, toplamda 34 - 1 + 1 = 34 terim bulunmaktadır. Yani n, 1’den 34’e kadar değer almaktadır.
Adım 2 — K İfadesini Yeniden Düzenleme
K = (2 \times 10^1 + 1) + (2 \times 10^2 + 1) + (2 \times 10^3 + 1) + \dots + (2 \times 10^{34} + 1)
K = (2 \times 10^1 + 2 \times 10^2 + \dots + 2 \times 10^{34}) + (\underbrace{1+1+\dots+1}_{34 \text{ tane}})
K = 2 \times (10^1 + 10^2 + \dots + 10^{34}) + 34
Adım 3 — Parantez İçini Hesaplama
Parantez içindeki ifade bir geometric dizidir: 10 + 100 + \dots + 10^{34}. Bu toplam:
\underbrace{11...1}_{34 \text{ tane}}0 şeklindedir.
Örnek: 10+100 = 110. 10+100+1000 = 1110.
Yani, parantez içindeki toplam, 34 tane 1 rakamının ardından bir 0 rakamının gelmesiyle oluşan sayıdır.
Adım 4 — K Sayısını Bulma
K = 2 \times (\underbrace{11...1}_{34 \text{ tane}}0) + 34
2 \times (\underbrace{11...1}_{34 \text{ tane}}0) = \underbrace{22...2}_{34 \text{ tane}}0
Şimdi bu sayıya 34 ekleyelim:
\underbrace{22...2}_{34 \text{ tane}}0 + 34
Bu toplama işlemi en sağdaki basamaklardan başlayarak yapılır.
…2220
- 34
…2254
Son iki basamak 20+34=54 olur. Bir önceki basamaktaki 2 değişmez.
Yani K = \underbrace{22...2}_{32 \text{ tane}}54 şeklinde olacaktır.
Toplamda 34 terim vardı. Son iki basamak 5 ve 4 oldu. Geriye kalan 34-2=32 basamak ise 2’dir.
Adım 5 — K Sayısının Rakamları Toplamını Bulma
K sayısının rakamları toplamı, 32 tane 2, bir tane 5 ve bir tane 4 rakamının toplamıdır:
Rakamlar Toplamı = (32 \times 2) + 5 + 4
Rakamlar Toplamı = 64 + 9
Rakamlar Toplamı = 73
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 73
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Aritmetik Seri ve Toplam
- Tanım: Belirli bir kurala göre artan veya azalan sayı dizisidir. Bu problemde terimleri 2 \times 10^n + 1 şeklinde ifade ettik.
- Bu problemde: Terimlerin yapısını anlayarak toplamı daha basit bir hale getirdik. Özellikle 10^1 + 10^2 + \dots + 10^{34} kısmının hesaplanması kritikti.
2. Basamak Değeri ve Sayı Yapısı
- Tanım: Bir sayının her bir basamağındaki rakamın, bulunduğu konuma göre aldığı değerdir (örn. 21 sayısında 2’nin basamak değeri 20’dir).
- Bu problemde: Son terimin içinde 33 tane 0 olmasının 10^{34} terimi ile eşleşmesini sağladı ve 2 \times (\underbrace{11...1}_{34 \text{ tane}}0) işleminin sonucunu doğru bir şekilde oluşturmamıza yardımcı oldu.
SIK YAPILAN HATALAR:
Terim Sayısını Yanlış Hesaplama
- Yanlış: Son terimde 33 tane sıfır olması, toplamda 33 terim olduğu anlamına gelmez.
- Doğru: İlk terim 2 \times 10^1 + 1, son terim 2 \times 10^{34} + 1 olduğundan, üsler 1’den 34’e kadar gitmektedir. Bu da toplamda 34 - 1 + 1 = 34 terim olduğunu gösterir.
- Yanlış olmasının nedeni: Sıfır sayısı ile üs arasındaki ilişkiyi karıştırmak. 201 = 2 \times 10^2 + 1 (1 sıfır var, üs 2). 200...01 (33 sıfır var, üs 34).
Toplama İşleminde Eldeyi Unutmak
- Yanlış: \underbrace{22...2}_{34 \text{ tane}}0 + 34 işlemini yaparken sadece son rakamları etkileyeceğini düşünmek.
- Doğru: \underbrace{22...2}_{34 \text{ tane}}0 sayısına 34 eklenirken, en sağdaki 0 ile 4 toplanır, soldaki 2 ile 3 toplanır ve bu bir sonraki basamağı etkiler. Yani 20+34=54 olduğu için, son iki basamak 20 yerine 54 olur ve bir önceki basamak etkilenmez.
- Yanlış olmasının nedeni: Basamak değerlerini gözden kaçırmak ve toplama işlemini eksik yapmak.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir practice problemi çözmemi ister misin?