\tan x - ot x = 3 olduğuna göre, \tan^2 x + ot^2 x in değeri kaçtır?
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
E) 13
Trigonometrik Özdeşlikler ile \tan^2 x + \cot^2 x Değerinin Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Tam Kare Açılımı: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
- Trigonometrik Çarpım Özdeşliği: \tan x \cdot \cot x = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Eşitliğin Her İki Tarafının Karesini Alma
Verilen \tan x - \cot x = 3 eşitliğinde her iki tarafın parantez karesi alınır:
(\tan x - \cot x)^2 = 3^2
Adım 2 — Tam Kare İfadesini Açma ve Özdeşliği Yerine Koyma
Sol taraf tam kare açılımı kuralına göre açılır ve \tan x \cdot \cot x = 1 eşitliği kullanılır:
\tan^2 x - 2 \cdot \tan x \cdot \cot x + \cot^2 x = 9
\tan^2 x - 2 \cdot (1) + \cot^2 x = 9
\tan^2 x - 2 + \cot^2 x = 9
Adım 3 — İstenen İfadeyi Yalnız Bırakma
Eşitliğin solundaki -2 sayısı karşı tarafa +2 olarak geçirilir:
\tan^2 x + \cot^2 x = 9 + 2
\tan^2 x + \cot^2 x = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ters Orantılı Trigonometrik Oranlar: Aynı açının tanjant ve kotanjant değerleri birbirinin çarpmaya göre tersidir (\cot x = \frac{1}{\tan x}); bu nedenle çarpımları daima \tan x \cdot \cot x = 1 olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: (\tan x - \cot x)^2 ifadesini açarken ortadaki çarpım terimini unutup doğrudan \tan^2 x - \cot^2 x = 9 veya \tan^2 x + \cot^2 x = 9 yazmak.- Doğru Yaklaşım: İki terimin farkının karesi alınırken birinciyle ikincinin çarpımının iki katı (2ab) mutlaka hesaba katılmalıdır.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için \tan x + \cot x = 4 verildiğinde \tan^2 x + \cot^2 x değerini bulacağımız benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?