$\tan 10^\circ \tan 20^\circ + \tan 10^\circ \tan A^\circ + \tan 20^\circ \tan A^\circ = 1$ Denkleminin Çözümü

YKS TYT
1
  1. A E [0°, 360°] olmak üzere
    tan10° tan20+ tan10 tanA° + tan20 tanA° =1
    denklemini sağlayan farklı A değerlerinin toplami kaçtır?
    A) 90°
    B) 180°
    C) 240°
    D) 270°
    E) 300°

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1021×799 42.8 KB

2

\tan 10^\circ \tan 20^\circ + \tan 10^\circ \tan A^\circ + \tan 20^\circ \tan A^\circ = 1 Denkleminin Çözümü

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]

Tanjant toplam formülü:

\tan(x + y + z) = \frac{\tan x + \tan y + \tan z - \tan x \tan y \tan z}{1 - (\tan x \tan y + \tan x \tan z + \tan y \tan z)}

Eğer x + y + z = 90^\circ ise, \tan(90^\circ) tanımsız olduğu için payda sıfıra eşit olmalıdır:

\tan x \tan y + \tan x \tan z + \tan y \tan z = 1

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Verilen Denklemi Analiz Etme
Soruda bize verilen denklem şudur:

\tan 10^\circ \tan 20^\circ + \tan 10^\circ \tan A^\circ + \tan 20^\circ \tan A^\circ = 1

Bu yapı, yukarıdaki formülde belirttiğimiz \tan x \tan y + \tan x \tan z + \tan y \tan z = 1 kalıbına tam olarak uymaktadır. Burada x = 10^\circ, y = 20^\circ ve z = A^\circ olarak alınmıştır.

Adım 2 — Açı Toplamı İlişkisini Kurma
Bu eşitliğin sağlanması için üç açının toplamının 90^\circ veya bu açının 180^\circ fazlaları olması gerekir (tanjantın periyodu gereği):

10^\circ + 20^\circ + A^\circ = 90^\circ + k \cdot 180^\circ
30^\circ + A^\circ = 90^\circ + k \cdot 180^\circ
A^\circ = 60^\circ + k \cdot 180^\circ

Adım 3 — A \in [0^\circ, 360^\circ] Aralığındaki Değerleri Bulma

  • k = 0 için: A_1 = 60^\circ
  • k = 1 için: A_2 = 60^\circ + 180^\circ = 240^\circ
  • k = 2 için: A_3 = 60^\circ + 360^\circ = 420^\circ (Bu değer aralık dışındadır.)

Adım 4 — Farklı A Değerlerinin Toplamını Hesaplama
Bulduğumuz uygun değerlerin toplamı:

A_1 + A_2 = 60^\circ + 240^\circ = 300^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 300° (E Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Tanjant Toplam Özellikleri

  • [Tanım:] Bir üçgende veya toplamları 90^\circ olan açılarda tanjantların ikişerli çarpımlarının toplamı 1’e eşittir.
  • [Bu problemde:] 10^\circ + 20^\circ + 60^\circ = 90^\circ olduğu için özdeşlik sağlanmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Sadece Bir Değeri Bulmak

  • [Yanlış:] Sadece A = 60^\circ değerini bulup işlemi bitirmek.
  • [Doğru:] Verilen [0^\circ, 360^\circ] aralığındaki tüm periyodik değerleri (60^\circ ve 240^\circ) kontrol etmek.
  • [Neden Yanlış:] Trigonometrik denklemlerde periyot eklenmediğinde köklerin bir kısmı eksik kalır.

Trigonometrik özdeşliklerle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?