(a+b)² ve (a-b)² açılımları nasıldır? a + b = 8 ve a . b = 12 ise a² + b² kaçtır tarzı sorular nasıl çözülür?
[Özet Yanıt]
Tam kare açılımı: Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı ve ikincinin karesinin toplamıdır:
- (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
- (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
a^2 + b^2 sorulduğunda (a+b)^2 - 2ab dönüşümü yapılarak 8^2 - 2(12) = 64 - 24 = 40 bulunur.
1. Sık Çıkan Soru Tipleri ve Çözüm Adımları
Tip 1: a^2 + b^2 Bulma
a + b = 8 ve a \cdot b = 12 ise a^2 + b^2 = ?
Her iki tarafın parantez karesi alınır:
(a + b)^2 = 8^2
a^2 + 2ab + b^2 = 64
a \cdot b = 12 yerine konur:
a^2 + 2(12) + b^2 = 64 \implies a^2 + b^2 = 64 - 24 = \mathbf{40}
Tip 2: x + \frac{1}{x} Soruları
x + \frac{1}{x} = 5 olduğuna göre x^2 + \frac{1}{x^2} = ?
Kare alırsak:
\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
5^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 - 2 = \mathbf{23}
Tam Kare Özdeşlikleri ve a^2 + b^2 Değerini Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki terimin toplamının karesi:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
- İki terimin farkının karesi:
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
- a^2 + b^2 ifadesini yalnız bırakma formülü:
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \quad \text{veya} \quad a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Açılımların Mantığını Anlama
Tam kare ifadeler, bir terimin kendisiyle çarpılması demektir. Dağılma özelliği uygulandığında:
(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = a^2 - 2ab + b^2
Adım 2 — Verilen Değerlerle a^2 + b^2 Hesabına Başlama
Soruda a + b = 8 ve a \cdot b = 12 olarak verilmiştir. Her iki tarafın da karesi alınır:
(a + b)^2 = 8^2
a^2 + 2ab + b^2 = 64
Adım 3 — Bilinen Değerleri Yerine Koyma ve Sonuca Ulaşma
Eşitlikte a \cdot b yerine 12 yazılır ve a^2 + b^2 yalnız bırakılır:
a^2 + 2(12) + b^2 = 64
a^2 + 24 + b^2 = 64
a^2 + b^2 = 64 - 24
a^2 + b^2 = 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
a^2 + b^2 = 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tam Kare Özdeşliği: Bir toplamın veya farkın parantez karesi alındığında; birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı ve ikincinin karesi elde edilir.
- Taraf Tarafa Kare Alma: a+b veya a-b değeri bilindiğinde, her iki tarafın parantez karesi alınarak a^2 + b^2 terimleri doğrudan üretilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: (a + b)^2 = a^2 + b^2 veya (a - b)^2 = a^2 - b^2 kabul etmek (ortadaki 2ab terimini unutmak).- Doğru Yaklaşım: Parantez kare açılımında ortadaki çarpımların iki katı olan +2ab veya -2ab terimi mutlaka eklenmelidir.
Benzer mantıkla, a - b = 6 ve a \cdot b = 7 verildiğinde a^2 + b^2 değerini bulmak için bir alıştırma yapmak ister misin?