tabana paralel bir doğru boyunca aşağıdaki gibi iki parçaya ayrılıyor. Daha sonra parçalar sarı ve yeşil renklere boyanıyor.
Buna göre, sarı renkli parçanın alanının yeşil renkli parçanın alanına oranı kaçtır?
Benzer Üçgenlerde Alan Oranı ve Paralel Kesim Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende tabana paralel çizilen doğru parçası, tepe noktasından benzer bir üçgen oluşturur (Temel Orantı Teoremi). Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir:
\frac{A_1}{A_2} = k^2
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Benzerlik Oranının (k) Belirlenmesi
Kesim çizgisi tabana paralel olduğundan, üstteki küçük üçgen ile başlangıçtaki büyük üçgen benzerdir. Şekilde verilen kenar uzunluklarına göre üst parçanın kenarı 2 birim, alt parçanın kenarı ise 3 birimdir. Buradan büyük üçgenin toplam kenar uzunluğu 2 + 3 = 5 birim olur.
k = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}
Adım 2 — Üçgenlerin Alanları Oranının Hesaplanması
Sarı renkli küçük üçgenin alanının, başlangıçtaki büyük üçgenin tamamının alanına oranı benzerlik oranının karesidir:
\frac{A(\text{Sarı})}{A(\text{Tüm Üçgen})} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}
Bu durumda sarı üçgenin alanına 4S dersek, büyük üçgenin tamamının alanı 25S olur.
Adım 3 — Yeşil Renkli Parçanın Alanı ve İstenen Oran
Yeşil renkli yamuk parçanın alanı, büyük üçgenin alanından sarı üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur:
A(\text{Yeşil}) = 25S - 4S = 21S
Bizden istenen sarı parçanın alanının yeşil parçanın alanına oranı:
\frac{A(\text{Sarı})}{A(\text{Yeşil})} = \frac{4S}{21S} = \frac{4}{21}
CEVAP: \dfrac{4}{21}
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Benzerlik oranı k iken alan oranı k^2 olur. Sorularda en sık yapılan hata, tabandaki yamuğun alanını büyük üçgenin tüm alanı (25S) ile karıştırmak veya doğrudan kenarların karesini oranlayarak 4/9 bulmaktır. Alt parçanın alanı için mutlaka büyük üçgenin alanından üst üçgenin alanını çıkarmalısınız.