t sayısı 3 ile bölünemeyen bir tek sayı olmak üzere t^{2} - 25 şeklinde yazılabilen tüm sayıları bölen kaç tane doğal sayı vardır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Modüler Aritmetik ve Tam Sayılarda Bölünebilme Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Tek bir sayının karesi daima 8 ile bölündüğünde 1 kalanını verir (t^2 \equiv 1 \pmod 8); 3 ile bölünemeyen bir sayının karesi ise 3 ile bölündüğünde daima 1 kalanını verir (t^2 \equiv 1 \pmod 3). Pozitif bir tam sayının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi A = p_1^a \cdot p_2^b olduğunda, pozitif doğal sayı bölenlerinin sayısı (a+1)(b+1) formülü ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — t^2 - 25 İfadesinin Bölünebilirlik Özelliklerini Belirleme
Soruda t sayısının 3 ile bölünemeyen bir tek sayı olduğu belirtilmiştir:
- t tek sayı olduğundan karesi mod 8’de 1 dengindedir: t^2 \equiv 1 \pmod 8. 25 sayısı da tek olduğundan 25 \equiv 1 \pmod 8 olur. Buradan:
t^2 - 25 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod 8
Bu durum, t^2 - 25 ifadesinin daima 8’in tam katı olduğunu gösterir.
- t sayısı 3 ile tam bölünemediği için t \equiv 1 veya t \equiv 2 \pmod 3 olabilir. Her iki durumda da t^2 \equiv 1 \pmod 3 elde edilir. 25 \equiv 1 \pmod 3 olduğundan:
t^2 - 25 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod 3
Bu durum, t^2 - 25 ifadesinin daima 3’ün de tam katı olduğunu gösterir.
Adım 2 — En Büyük Ortak Bölenin Doğal Sayı Bölenlerini Bulma
8 ve 3 aralarında asal olduğundan, bu şartı sağlayan bütün sayılar daima \text{EKOK}(8, 3) = 24 sayısına tam bölünür. Örneğin t = 7 alındığında:
7^2 - 25 = 49 - 25 = 24
Tüm durumları bölen en büyük ortak çarpan 24’tür. 24 sayısının tüm doğal sayı bölenleri, bu şartı sağlayan bütün sayıları da ortak böler:
24 = 2^3 \cdot 3^1
\text{Doğal Sayı Bölen Sayısı} = (3 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 2 = 8
Bu bölenler \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} olmak üzere 8 tanedir.
CEVAP: C) 8
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür genelleme sorularında kuralı ispatladıktan sonra en küçük uygun tek sayı değerlerini (örneğin t = 5 \implies 0 ve t = 7 \implies 24) yerine koyarak elde edilen değerlerin EBOB’unu almak, sınav anında en hızlı ve pratik sağlama yöntemidir.
@Akademik_Rehber mod falab filen bilmem ben bana normal anlat
Soru bizden “3 ile bölünemeyen tek sayıları” seçip t^2 - 25 işlemine koyduğumuzda çıkan bütün sonuçları aynı anda bölen ortak doğal sayıları istiyor.
Hiç modüler aritmetiğe girmeden, doğrudan sayı vererek adım adım çözelim:
1. Şarta Uygun Tek Sayıları Belirleyelim
Sayılarımız tek olacak ve 3’e bölünmeyecek:
- t = 1
- t = 5
- t = 7
- t = 11
- t = 13 … şeklinde gider. (3, 9, 15 gibi sayıları 3’ün katı olduğu için almıyoruz.)
2. Bu Sayıları t^2 - 25 İfadesinde Yerine Yazalım
-
t = 7 için:
7^2 - 25 = 49 - 25 = 24 -
t = 11 için:
11^2 - 25 = 121 - 25 = 96 -
t = 13 için:
13^2 - 25 = 169 - 25 = 144
3. Çıkan Sonuçların Ortak Bölenini Bulalım
Bulduğumuz sayılar: 24, 96, 144, …
Tüm bu sayıların hepsini birden bölebilen en büyük ortak sayı 24’tür.
Dolayısıyla 24’ün bölenleri olan her doğal sayı, çıkan bu sonuçların hepsini kesinlikle tam böler.
4. 24’ün Doğal Sayı Bölenlerini Yazalım
24’ü tam bölen pozitif doğal sayılar:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Saydığımızda toplam 8 tanedir.
Doğru Cevap: C) 8
@Akademik_Rehber mod nedir??
Mod, matematikte kısaca “bir bölme işlemindeki kalan” demektir.
Bunu günlük hayattan en iyi saatler ve günler üzerinden anlayabilirsin:
1. Günlük Hayattan Örnek: Duvar Saati
Duvar saati 12’de bir sıfırlanır:
- Saat şu an 9 olsun. 5 saat sonra saat kaç olur?
- 9 + 5 = 14 olur ama biz saate bakınca “saat 2” deriz.
- Çünkü 14’ü 12’ye böldüğümüzde kalan 2’dir.
- Matematik dilinde bu durum şöyle yazılır:14 \equiv 2 \pmod{12}(Okunuşu: 14 sayısının 12 ile bölümünden kalan 2’dir).
2. Günlük Hayattan Örnek: Günler
Günler 7 günde bir aynı güne döner:
- Bugün günlerden Pazartesi olsun. 8 gün sonra hangi gün olur?
- 8’i 7’ye bölersen kalan 1 olur. Yani 1 gün ileri gider, Salı olur.
- Matematikçe:8 \equiv 1 \pmod 7(8’in 7’ye bölümünden kalan 1’dir).
Matematikteki Karşılığı
- 17 \equiv 2 \pmod 5 \rightarrow “17’nin 5’e bölümünden kalan 2’dir.”
- 25 \equiv 1 \pmod 8 \rightarrow “25’in 8’e bölümünden kalan 1’dir.”
Özetle, matematikte \pmod m gördüğünde tek yapman gereken şey: “Sayıyı m’ye böl ve sadece kalanla ilgilen.”
@Akademik_Rehber anlamadim hic
Bütün matematik sembollerini bir kenara bırakalım.
İlkokuldaki bakkal bölmesini hatırla:
Bir sayıyı bir sayıya böldüğünde, en altta bir “kalan” kalır ya, işte mod sadece o kalandır.
Çok Basit Bir Örnek:
Diyelim ki cebinde 10 tane ceviz var. Bu cevizleri 3 arkadaşına eşit dağıtmak istiyorsun:
- 10’u 3’e bölersin.
- Her arkadaşına 3 tane ceviz verirsin (toplam 9 ceviz dağıttın).
- Cebinde dağıtamadığın kaç ceviz kaldı? 1 tane kaldı.
İşte matematikte o cebinde artan 1 sayısına “mod” denir.
- Birisi sana “10’un mod 3’ü kaçtır?” dediğinde aslında şunu soruyordur:
“10’u 3’e bölersen elinde kaç tane artar/kalır?”
Sen de dersin ki: “1 kalır.”
İki Küçük Örnek Daha:
-
11’in mod 5’i kaçtır?
11’i 5’e böl. 5 \times 2 = 10 eder, geriye 1 artar. Yani cevap 1’dir. -
20’nin mod 6’sı kaçtır?
20’yi 6’ya böl. 6 \times 3 = 18 eder, geriye 2 artar. Yani cevap 2’dir.
Özetle: Mod = Bölme işleminde elinde kalan artık sayı. Başka hiçbir gizemi yok!
@Akademik_Rehber peki bu soruda mod 8 falan demistin o ne oluyor
İlk çözümde söylediğim “mod 8” lafı aslında sadece şu demekti:
“Bir sayıyı 8’e böldüğümüzde elinde kalan sayı.”
Peki o soruda neden durduk yere 8’e böldük? Çünkü matematikte çok ilginç ve değişmez bir kural vardır:
Tek Sayıların Karesini 8’e Bölme Kuralı
Aklına gelen herhangi bir tek sayının karesini alıp 8’e bölersen, istisnasız her zaman 1 artar (kalan 1 olur).
Birlikte deneyelim:
- Tek sayı 3 olsun \rightarrow Karesi: 3 \times 3 = 9.
9’u 8’e böl \rightarrow 1 artar. - Tek sayı 5 olsun \rightarrow Karesi: 5 \times 5 = 25.
25’i 8’e böl (8 \times 3 = 24) \rightarrow 1 artar. - Tek sayı 7 olsun \rightarrow Karesi: 7 \times 7 = 49.
49’u 8’e böl (8 \times 6 = 48) \rightarrow 1 artar.
Gördüğün gibi hangi tek sayıyı seçersen seç, karesini 8’e böldüğünde hep 1 kalıyor.
Sorudaki t^2 - 25 İfadesine Gelelim
Soruda bize t^2 - 25 verilmişti ve t’nin tek sayı olduğu söylenmişti:
- t tek sayı olduğu için t^2’yi 8’e bölersek elimizde 1 artar.
- Yanındaki 25 sayısını da 8’e bölersek (8 \times 3 = 24) yine 1 artar.
Şimdi bunları birbirinden çıkarıyoruz:
\text{Kalan } 1 - \text{Kalan } 1 = 0 \text{ kalır.}
Kalan 0 oldu! Yani artık hiçbir şey artmadı, sayı 8’e tam (tamı tamına) bölündü.
İşte ilk çözümde “mod 8’de 0 olur” derken anlatmak istediğim tek şey şuydu:
“t yerine hangi tek sayıyı koyarsan koy, t^2 - 25 işlemi her zaman 8’e tam bölünür.”