t gerçek sayı olmak üzere
x^2 - (t + 1)x + t = 0
denkleminin diskriminantı aynı zamanda bu denklemin köklerinden biridir.
Buna göre $t$’nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
İkinci Dereceden Denklemlerde Kök ve Diskriminant İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: ax^2 + bx + c = 0 biçimindeki ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı \Delta = b^2 - 4ac formülüyle bulunur. Bir ifadenin denklemin kökü olması, denklemi sağlaması ya da çarpanlara ayrılmış köklerden birine eşit olması anlamına gelir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Denklemin Köklerini ve Diskriminantını Bulma
Verilen x^2 - (t + 1)x + t = 0 denklemini çarpanlarına ayıralım:
(x - 1)(x - t) = 0 \implies x_1 = 1 \quad \text{ve} \quad x_2 = t
Denklemin diskriminantını (\Delta) hesaplayalım:
\Delta = [-(t + 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot t = t^2 + 2t + 1 - 4t = (t - 1)^2
Adım 2 — Diskriminantın Köklerden Biri Olma Durumlarını İnceleme
Soruda \Delta’nın denklemin köklerinden biri olduğu belirtildiğinden iki farklı durum incelenir:
- Durum 1: \Delta = x_1 = 1 ise:
(t - 1)^2 = 1 \implies t - 1 = 1 \ \text{veya} \ t - 1 = -1
t = 2 \quad \text{veya} \quad t = 0
- Durum 2: \Delta = x_2 = t ise:
(t - 1)^2 = t \implies t^2 - 2t + 1 = t \implies t^2 - 3t + 1 = 0
Bu denklemin diskriminantı \Delta_t = (-3)^2 - 4(1)(1) = 5 > 0 olduğundan iki farklı gerçek kökü vardır. Kökler toplamı formülünden:
t_3 + t_4 = -\frac{-3}{1} = 3
(Bulunan t = 0 ve t = 2 değerleri t^2 - 3t + 1 = 0 denklemini sağlamadığından bu 4 kök birbirinden tamamen farklıdır.)
Adım 3 — t’nin Alabileceği Farklı Değerlerin Toplamı
t_{\text{toplam}} = 0 + 2 + (t_3 + t_4) = 0 + 2 + 3 = 5
CEVAP: C) 5 (\sum t = 5)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İkinci dereceden denklemi doğrudan çarpanlarına ayırmak kökleri 1 ve t olarak görmeyi kolaylaştırır. Diskriminant köklerden birine eşitlendiğinde oluşan ikinci denklemde kökleri tek tek bulmak yerine kökler toplamı kuralını (-\frac{b}{a}) kullanmak zaman kazandırır.