Soru:
t^3 + 30 = 0 olduğuna göre,
- \frac{3}{t^2 - 3t + 9}
ifadesinin t türünden eşiti aşağıda-
kilerden hangisidir?
Soru Fotoğrafı:
Sorunun Çözümü: \frac{-3}{t^2 - 3t + 9} ifadesinin t cinsinden eşiti bulunacak.
Kullanılan Bilgi:
- t^3 + 30 = 0 denklemi veriliyor.
- Amaç: \frac{-3}{t^2 - 3t + 9} ifadesinin basit bir t cinsinden yazımı.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Verilen denklemi kullanarak t^3 değerini bulalım:
t^3 + 30 = 0 \Rightarrow t^3 = -30
Adım 2 — Paydanın dönüşümü için yardımcı ifadeler:
Payda t^2 - 3t + 9 ifadesini inceleyelim. Bu ifadeyi, miktarsal olarak bir polinom bölümü gibi kullanacağız.
İpucu olarak, aşağıdaki özdeşliği hatırlayalım:
(t - a)(t^2 + a t + a^2) = t^3 - a^3
Bizim t^2 - 3t + 9 ifademiz ise,
t^2 - 3t + 9
Bu, a = 3 ise,
t^2 - 3t + 9 = t^2 - 3 t + 3^2
Fakat yukarıdaki çarpan açılımında t^2 + a t + a^2 şeklinde pozitif a t terimi vardır, bizim ifademizde ise eksi işaret var. Bu nedenle doğrudan eşleşmiyor.
Adım 3 — Payda için uygun dönüşüm:
Amacımız şu:
\frac{-3}{t^2 - 3t + 9} = ?
Burada t^3 = -30 bilgisinden faydalanacağız.
Paydanın polinom ifadesine farklı bir açıdan bakalım. Aşağıdaki denklemi inceleyelim:
(t - 3)(t^2 + 3t + 9) = t^3 - 27
Sizinki ile çok benzer:
t^2 - 3t + 9 \quad \text{ve} \quad t^2 + 3t + 9
İşlem yapabilmek için payda ifadesini bir köşeye alıp, polinom işlemleri düşünülebilir.
Adım 4 — Paydayı ifadenin payı ile çarparak kıyaslama:
Tümdengelim olmuyor ise, t^3 + 30 = 0 demek, t^3 = -30.
Bir öneri daha:
t^3 = -30 olduğundan, t^3 + 30 = 0 ifadesini kullanarak şu özdeşliği deneyebiliriz:
t^3 - 27 + 57 = ?
Ama bu karmaşıklaştırır.
Daha pratik çözüm için:
t^3 + 30 = 0 \Rightarrow t^3 = -30
Diğer yandan, biliyoruz ki:
t^3 - 27 = (t - 3)(t^2 + 3t + 9)
Tekrar yazalım:
t^3 - 27 = (t - 3)(t^2 + 3t + 9)
\Rightarrow
t^2 + 3t + 9 = \frac{t^3 - 27}{t - 3}
Ama bizim paydamız t^2 - 3t + 9, bu yüzden dikkat!
Adım 5 — Kareler açılımı:
t^2 - 3t + 9 = (t - \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{4}
Ancak bu da sonuca direkt ulaşmaz.
Adım 6 — Alternatif yol:
Soruda verilen seçenekleri deneyelim:
\frac{-3}{t^2 - 3t + 9} = ?
Seçenekler:
A) t + 3
B) t + 4
C) t - 3
D) t - 4
E) t
Her iki tarafı çarpalım:
-3 = (\text{şık}) \times (t^2 - 3t + 9)
Örneğin A şıkkı:
t + 3\quad \Rightarrow \quad (t + 3)(t^2 - 3t + 9) = t^3 - 3t^2 + 9 t + 3 t^2 - 9 t + 27 = t^3 + 27
Burada basitleştirme yaparsak, -3 = t^3 + 27 olması gerekir ki;
t^3 + 27 = -3 ise t^3 = -30 olur.
Bu, verilmiş denklemle uyumlu!
Sonuç:
\frac{-3}{t^2 - 3 t + 9} = t + 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: A) t + 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Önemli Kavramlar:
- Çarpanlara ayırma özdeşlikleri: t^3 - a^3 = (t - a)(t^2 + a t + a^2)
- Denklemde verilen ilişkiyi kullanarak ifadeleri sadeleştirme
- Seçenekleri yerine koyarak hızlı kontrol
Dikkat: Payda ifadesinde işaretlere dikkat etmek gerekir; bazen çarpanlar önce doğru tanımlanmalı.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuda başka bir örnek ister misin?
t^3 + 30 = 0 olduğuna göre, -\dfrac{3}{t^2 - 3t + 9} ifadesinin t türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
t^3 + 27 = (t+3)(t^2 - 3t + 9)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen denklemden t^3 değerini bul
t^3 + 30 = 0
= t^3 = -30
Adım 2 — Faktörleme kimliğini kullan
(t+3)(t^2 - 3t + 9) = t^3 + 27
= t^3 + 27 = -30 + 27
= -3
Adım 3 — t^2 - 3t + 9 ifadesini izole et
(t+3)(t^2 - 3t + 9) = -3
= t^2 - 3t + 9 = \dfrac{-3}{t+3}
Adım 4 — İstenen ifadeyi yerine koy ve sadeleştir
-\dfrac{3}{t^2 - 3t + 9}
= -\dfrac{3}{\dfrac{-3}{t+3}}
= -3 \cdot \dfrac{t+3}{-3}
= t + 3
CEVAP: t + 3 (A şıkkı)
TEMEL KAVRAMLAR:
- Faktörleme kimliği
- Tanım: Kübün toplamı/kübün farkı ifadelerini lineer ve ikinci derece çarpanlara ayırma.
- Bu problemde: t^3 + 27 ifadesi (t+3)(t^2-3t+9) şeklinde kullanıldı.
- Yerine koyma
- Tanım: Bilinen bir değeri denklem veya ifadeye sokma.
- Bu problemde: t^3=-30 değeri faktörleme sonucu elde edilen ifadeye kondu.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşaret hatası
- Yanlış: t^2-3t+9 yerine doğrudan t+3 ile bölme yapılmadan sadeleştirmek.
- Doğru: Faktörleme kimliği kullanılarak t^2-3t+9 = -3/(t+3) bulunmalı.
- Neden yanlış: İşaret ve payda doğru şekilde ele alınmazsa sonuç ters işaretli çıkar.
- Düzeltme: Her adımda işaretleri dikkatle takip et ve payda / payı doğru şekilde ters çevir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!