It appears that a user named matematikkurdu (hivran bozbuğa) has shared an image of a question related to room painting and paint usage in the YKS TYT category. The image contains a table and two graphs showing the remaining paint volume and painted area over time.
Would you like me to explain the question in detail, analyze the graphs, or provide step-by-step help to solve it?
Buna göre, kalan boyanın miktarının 15 litrenin altına düştüğü an hangi oda boyanmaktadır?
Cevap: Yatak Odası
Çözüm Aşamaları:
-
Toplam Boya ve Toplam Alan
• Verilen toplam boya miktarı: 35 litre
• Boyanacak odaların toplam alanı: 50 + 30 + 40 + 25 + 20 = 165 m² -
1 m²’nin Harcadığı Boya
Tüm alan 165 m², toplam boya 35 litre ise,
1 m²’yi boyamak için gereken boya miktarı:
$$\frac{35 \text{ litre}}{165 \text{ m²}} \approx 0{,}212 \text{ litre/m²}$$ -
Odaların Tek Tek Harcadığı Boya
• Salon (50 m²):
50 × 0,212 ≈ 10,606 litre
Boya sonrası kalan: 35 – 10,606 = 24,394 litre• Oturma Odası (30 m²):
30 × 0,212 ≈ 6,364 litre
Boya sonrası kalan: 24,394 – 6,364 ≈ 18,030 litre• Yatak Odası (40 m²):
40 × 0,212 ≈ 8,485 litre
– Bu odanın boyanmasına başlandığında elde 18,030 litre vardı.
– Odadaki boyama işlemi sırasında, kalan boya 18,030 litreden 18,030 – 8,485 = 9,545 litreye düşer. -
15 Litrenin Altına Ne Zaman İniyor?
• Yatak Odası’nı boyarken kalanın 18,030 litreden 9,545 litreye indiği aralıkta 15 litrenin altına düşüş gerçekleşir.
Dolayısıyla, kalan boyanın miktarının 15 litrenin altına düştüğü an boyanan oda Yatak Odası’dır.
Buna göre, kalan boyanın miktarının 15 litrenin altına düştüğü an hangi oda boyanmaktadır?
Cevap: Yatak Odası boyanmaktadır.
Aşağıda bu sonuca nasıl ulaşıldığını uzun ve detaylı şekilde bulabilirsiniz.
İçindekiler (Table of Contents)
- Sorunun Genel Tanıtımı
- Verilen Bilgiler ve Tablo
- Boya Tüketimi ve Alan İlişkisi
- Oda Sıralamasına Göre Boya Harcama Hesaplaması
- 15 Litreye Düşülen Anın Belirlenmesi
- Adım Adım Matematiksel Çözüm
- Örnek Bir Zaman Çizelgesi (Teorik)
- Özet Tablo
- Sonuç ve Özet Değerlendirme
1. Sorunun Genel Tanıtımı
Bu problemde, toplam 35 litre boya kullanılarak beş adet odanın boyanması söz konusudur. Odalar tabloda verildiği sıra ile boyanacaktır:
- Salon (50 m²)
- Oturma Odası (30 m²)
- Yatak Odası (40 m²)
- Mutfak (25 m²)
- Çocuk Odası (20 m²)
Soruda iki önemli grafik görülmektedir:
- Grafik 1: Kalan Boya Miktarının Zamana Göre Azalması (boya miktarı ekseninde düşey azalan bir doğru);
- Grafik 2: Boyanan Alanın Zamana Göre Artması (boyanan alan ekseninde yatayda artan bir doğru).
Bize yöneltilen soru ise, kalan boya miktarı 15 litrenin altına ilk kez düştüğünde hangi oda boyanıyor olduğudur.
Bu soruyu yanıtlamak için, 35 litrenin odalara dağılımını veya litre/alan oranını bilmemiz ve hangi oda boyanırken 15 litrelik eşiğin altına inildiğini hesaplamamız gerekir.
2. Verilen Bilgiler ve Tablo
Aşağıdaki tabloda, odaların yüzey alanları ve toplam boya kapasitesi gösterilmektedir:
| Oda | Alan (m²) |
|---|---|
| Salon | 50 |
| Oturma Odası | 30 |
| Yatak Odası | 40 |
| Mutfak | 25 |
| Çocuk Odası | 20 |
| Toplam Alan | 165 |
- Toplam boya hacmi: 35 litre
- Başlangıçta kalan boya: 35 litre
- Boya bitirme sırası: Salon → Oturma Odası → Yatak Odası → Mutfak → Çocuk Odası
Her oda tamamen boyanmadan diğerine geçilmemektedir. Dolayısıyla odalar sırasıyla tamamlanır ve bu esnada kullanılan boya miktarı kümülatif olarak artar.
Burada asıl odak, boyanın ne kadarının ne zaman kullanıldığıdır. 15 litre eşiğinin altına düştüğümüz zaman hangi oda üzerinde çalışma vardır, onu tespit etmeliyiz.
3. Boya Tüketimi ve Alan İlişkisi
Boyanın Metrekareye Düşen Miktarı
Problemde net olarak “her 1 litre kaç metrekareyi boyar” sorusu grafik üstünden veya toplam alan-toplam litre oranından çıkartılabilir. Tüm odalar boyanırsa (toplam 165 m²) 35 litre harcanmaktadır. Buna göre:
Yaklaşık olarak 1 litre boya ile 4.714 m² alan boyanabiliyor kabul ediyoruz.
Doğrusal (Lineer) Azalma ve Artma
Grafiklerde belirtildiği üzere, boya sabit hızla tüketiliyor (düzgün bir doğrusal ilişki). Yani zamana göre sabit bir oranda (örneğin saatte aynı miktar) boya kullanılıyor varsayımı var. Ayrıca boyanan alan da zamana göre sabit oranda artıyor.
4. Oda Sıralamasına Göre Boya Harcama Hesaplaması
4.1. Salon (50 m²)
İlk oda salondur. Salonun alanı 50 m².
- 1 litrenin boyayabildiği alan: yaklaşık 4.714 m²
- 50 m²’lik salonu boyamak için gereken boya:
- Başlangıçta 35 litre vardı. Salon bittiğinde yaklaşık:
4.2. Oturma Odası (30 m²)
Oturma odası alanı 30 m². Salon bittiğinde elimizde 24.39 litre kaldı. Şimdi bu 30 m² için gereken boya:
- Oturma Odası boyanıp bittiğinde geriye kalan:
4.3. Yatak Odası (40 m²)
Üçüncü sırada Yatak Odası vardır. Alan: 40 m². Yeni bir oda boyamaya başlamadan önce 18.03 litre kalmış durumda. Muhtemelen 15 litrenin altına burada veya sonraki aşamada düşeceğiz.
40 m² için gerekli boya:
Sıfırdan bu 8.48 litre tamamen kullanıldığında elimizde kalacak:
Bu işlemle birlikte Yatak Odası tamamen boyanmış olur. Fakat burada dikkat edilmesi gereken nokta, 15 litrelik eşiğe hangi anda ulaşıldığıdır. Belli ki Yatak Odası’na geçmeden önce 18.03 litre vardı ve odayı bitirdiğimizde 9.55 litreye kadar düştük. Yani 15 litre eşiği tam Yatak Odası’nı boyarken geçilmiş oluyor.
4.4. Mutfak (25 m²)
Eğer Yatak Odası’ndan sonra boyamaya geçseydik, 25 m² için gereken boya:
Ancak soruda 15 litreye hangi odada düşüyoruz diye sorulduğu için Mutfak’a geçmeden zaten Yatak Odası aşamasında 15’in altına inmiş oluyoruz.
4.5. Çocuk Odası (20 m²)
En son oda olan 20 m² için yaklaşık
gerekecektir. Ancak bu aşamaya gelinceye kadar zaten elimizde çok daha az boya kalacaktır.
5. 15 Litreye Düşülen Anın Belirlenmesi
Bu bölümde, kalan boyanın 15 litrenin altına düştüğü an tam olarak hangi odanın boyanması sırasında gerçekleştiğini matematiksel olarak inceleyeceğiz.
5.1. Salon ve Oturma Odası Sonrası Kalan Boya
- Salon bittiğinde kalan: 24.39 L
- Oturma Odası bittiğinde kalan: 18.03 L
Görüldüğü üzere oturma odası da tamamlandığında hâlâ 18.03 L boya mevcut. Bu değer 15 L’den büyük olduğu için henüz eşiği geçmedik.
5.2. Yatak Odasının Boyanmasına Başlanması
Yatak odası 40 m², ihtiyaç 8.48 L.
Elimizde 18.03 L var ve bu 8.48 L’nin hepsi kullanıldığında 9.55 L kalacak. 18.03 L’den 15 L’ye inmek, 3.03 L kullanımına tekabül ediyor. Yani Yatak Odası boyanırken, boyanan kısım yaklaşık 3.03 L’lik boyaya eşdeğer bir alanı kapladığında, ilk defa 15 litrenin altına inmiş olacağız.
5.3. Kalanın 15 Litrenin Altına İnmesi
Kalan miktar, 18.03 L’den 15 L’ye düşmek için 3.03 L kullanırız. Bu sırada boyanan alan:
Yani Yatak Odası’nın 14-15 m²’lik kısmı boyandığında, toplamda harcanan boya 3.03 L olur ve elimizde 15 L kalır. Tam o anda 15 L eşiği geçilir (15’in altına inilir). Dolayısıyla, bu an hâlâ Yatak Odası boyanmaya devam edilen andır.
Yani 15 L’lik kritik sınıra ulaşıldığında yapım aşamasında olan oda Yatak Odası’dır.
6. Adım Adım Matematiksel Çözüm
6.1. Toplam Alan ve Toplam Boya Oranı
1 litre boyanın kapladığı alan:
6.2. Her Oda İçin Harcanan Boyanın Hesaplanması
-
Salon (50 m²):
50 \div 4.714 \approx 10.61 \, \text{L}Kalan: 35 - 10.61 = 24.39 \, \text{L}
-
Oturma Odası (30 m²):
30 \div 4.714 \approx 6.36 \, \text{L}Kalan: 24.39 - 6.36 = 18.03 \, \text{L}
-
Yatak Odası (40 m²):
40 \div 4.714 \approx 8.48 \, \text{L}- Bu oda bitmişse kalan: 18.03 - 8.48 = 9.55 \, \text{L}
- Ancak 15 L sınırının altına bu oda boyanırken iniyoruz.
6.3. 15 Litre Eşiğine Gelindiği Noktanın Hesabı
Yatak Odası’na başlanıldığında 18.03 L var. 15 L’ye düşmek için kullanılacak miktar:
3.03 litre kullanıldığında boyanan alan:
Yani Yatak Odası tamamlanmadan yaklaşık 14.3 m² boyanmışken 15 L sınırının altına ineriz. Bu net şekilde gösterir ki o anda Yatak Odası boyanmaktadır.
7. Örnek Bir Zaman Çizelgesi (Teorik)
Bu problemde zaman etkeni de önemlidir ancak bize sorulan “hangi zaman diliminde hangi oda boyanıyor?” meselesi. Zamanı saat olarak varsayarsak, grafik doğrusal. Örneğin (rakamlar hayalîdir):
- Saat 0–2 arası: Salon boyanıyor (ilk 2 saat, 10.61 litre gitti).
- Saat 2–3.5 arası: Oturma Odası boyanıyor (1.5 saatte, 6.36 litre).
- Saat 3.5 ve sonrası: Yatak Odası boyanmaya başlıyor. 15 litrenin altına da muhtemelen saat 4 civarında, Yatak Odası’nın ortalarında iniliyor.
Burada saat aralıkları temsilîdir; önemli olan, "15 litrenin altına indiği an"ın tam Yatak Odası ortası olması.
8. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, her odanın boyanma sırasını, harcanan boyayı ve oda sonunda kalan miktarı özetler:
| Oda | Alan (m²) | Harcanan Boya (L) | Öncesi Kalan (L) | Sonrası Kalan (L) | 15 L Eşiğine Denk Gelen Aşama |
|---|---|---|---|---|---|
| Salon | 50 | ~10.61 | 35.00 | ~24.39 | Henüz 15 L altına düşülmedi |
| Oturma Odası | 30 | ~6.36 | ~24.39 | ~18.03 | Henüz 15 L altına düşülmedi |
| Yatak Odası | 40 | ~8.48 (tamamı) | ~18.03 | ~9.55 | 15 L eşiği oda boyanırken (yaklaşık 14.3 m²’de) |
| Mutfak | 25 | ~5.30 (tamamı) | ~9.55 | ~4.25 | - |
| Çocuk Odası | 20 | ~4.24 (tamamı) | ~4.25 | ~0.01 | - |
Bu tablodan, Yatak Odası boyanırken 15 litrenin altına inildiği açıkça anlaşılır.
9. Sonuç ve Özet Değerlendirme
Bu soruda, doğrusal bir boyama hızı olduğu ve toplamda 35 litre boyanın 165 m²’lik beş odaya sırasıyla uygulandığı bir senaryo incelenmektedir. Hesaplamalarımızda:
- Salon ve Oturma Odası boyandıktan sonra hala 18.03 litre boya kalmaktadır.
- Yatak Odası’nın 40 m²’sini boyamak için toplam ~8.48 litre boya gereklidir; ancak 15 litre sınırına, bu oda boyanırken (yaklaşık 14 m² boyandığında) ulaşılır.
- Dolayısıyla kalan boya miktarının 15 litrenin altına düştüğü an, Yatak Odası boyanmaktadır.
Bu, sorunun net cevabıdır: Kesin olarak Yatak Odası.