Syt polinom

YKS TYT
1

!IMG_3560|375x500 [Link Silindi]

2

Syt Polinom Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • P(x) polinomu: 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^7 olarak verilmiş.
  • Q(x) = P(x+1) olduğundan, Q(x) = 1 + (x+1) + (x+1)^2 + \ldots + (x+1)^7.
  • Soruda, Q(x) polinomundaki x^3 teriminin katsayısı isteniyor.
  • Binom açılımı ve terimlerin katsayı toplamı kullanılarak işlem yapılacak.

İçindekiler

  1. P(x) ve Q(x) Polinomlarının Tanımı
  2. Q(x) Polinomundaki x^3 Teriminin Katsayısını Bulma
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

1. P(x) ve Q(x) Polinomlarının Tanımı

Verilenler:

P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^7 = \sum_{k=0}^7 x^k
Q(x) = P(x+1) = \sum_{k=0}^7 (x+1)^k

Amaç:
Q(x) polinomunda x^3 teriminin katsayısını bulmak.

:light_bulb: Pro Tip:
Bir polinomda bir terimin katsayısını bulmak için terimlerin binom açılımı içerisindeki uygun kuvvetlerdeki katsayıları toplamanız gerekir.

2. Q(x) Polinomundaki x^3 Teriminin Katsayısını Bulma

Q(x) = \sum_{k=0}^7 (x+1)^k

Her (x+1)^k için binom açılımı:

(x+1)^k = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} x^i \cdot 1^{k-i} = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} x^i

Q(x) içindeki x^3 terimlerinin toplamı:

\sum_{k=0}^7 \binom{k}{3} x^3

Burada dikkat edilmesi gereken: \binom{k}{3} = 0 eğer k < 3.

Bu yüzden toplam:

x^3 \cdot \sum_{k=3}^7 \binom{k}{3}

Şimdi \sum_{k=3}^7 \binom{k}{3} değerini hesaplayalım:

\binom{3}{3} + \binom{4}{3} + \binom{5}{3} + \binom{6}{3} + \binom{7}{3}

Bunları tek tek yazalım:

  • \binom{3}{3} = 1
  • \binom{4}{3} = 4
  • \binom{5}{3} = 10
  • \binom{6}{3} = 20
  • \binom{7}{3} = 35

Toplam:

1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70

Sonuç:

Q(x) içindeki x^3 teriminin katsayısı 70’tir.

Özet Tablo

Unsur Değer
P(x) polinomu \sum_{k=0}^7 x^k
Q(x) polinomu P(x+1) = \sum_{k=0}^7 (x+1)^k
x^3 terimi katsayısı \sum_{k=3}^7 \binom{k}{3} = 70
Doğru cevap C şıkkı (70)

Sık Sorulan Sorular

1. Binom katsayıları neden kullanılır?
Binom katsayıları, (x+1)^n türündeki ifadelerin açılımında terimlerin katsayılarını verir. Polinomun belirli terimleri için katsayının hesaplanmasında çok işe yarar.

2. Eğer başka bir terimin katsayısı istenseydi nasıl hesaplanırdı?
Aynı yöntemi kullanarak, örneğin x^m terimi için \sum_{k=m}^7 \binom{k}{m} toplanır.

3. Q(x) polinomunu açarsak neden direkt toplayamayız?
Çünkü direkt tüm terimleri açmak karmaşık olur. Binom katsayıları yardımıyla kısa ve kesin sonuç elde edilir.

Sonraki Adımlar

Size uygun olur mu; bu tür polinom sorularında binom teoremini ve katsayı bulmayı adım adım gösteren uygulamalı başka sorular hazırlamamı ister misiniz?

@Ecenaz_Akbulut

3

Soru Tekrarı: P(x) ve Q(x) polinom olmak üzere;

P(x)=1 + x + x² + ⋯ + x⁷, Q(x)=P(x+1) olduğuna göre Q(x) polinomunda x³ teriminin katsayısı kaçtır?

Önemli Noktalar (Ana Hatlar):

  • P(x), derecesi 7 olan bir geometrik seridir.
  • Q(x)=P(x+1) genişletildiğinde her terim (x+1)^k formunda açılır.
  • x³ teriminin katsayısı \displaystyle \sum_{k=3}^{7}\binom{k}{3} şeklinde hesaplanır.

Çözüm Özeti:
Q(x) polinomunda x³ teriminin katsayısı

\sum_{k=3}^7 \binom{k}{3} = 1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70

olur.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablo
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. P(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^7 x^k ifadesinde x\to x+1 yaparak
    Q(x)=\sum_{k=0}^7 (x+1)^k\,.
  2. Binom teoremine göre
    (x+1)^k = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\,x^i\,.
  3. x³ terimi, ancak k\ge3 için \binom{k}{3}x^3 olarak katkı sağlar.
  4. Sonuçta katsayı
    \sum_{k=3}^7 \binom{k}{3} = 70\,.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik P(x) Q(x)=P(x+1)
Tanım \sum_{k=0}^7 x^k \sum_{k=0}^7 (x+1)^k
Genel Terim x^k (k=0…7), katsayı = 1 (x+1)^k=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}x^i
x³ Katsayısı \binom{3}{3}=1 \sum_{k=3}^7\binom{k}{3}=70

Özet Tablo

Adım İfade Sonuç
P(x) tanımı \displaystyle\sum_{k=0}^7 x^k –
Q(x)=P(x+1) \displaystyle\sum_{k=0}^7 (x+1)^k –
x³ katsayısı \displaystyle\sum_{k=3}^7\binom{k}{3} 70

SSS

S1: Binom teoremi nedir?
C1: (a+b)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^{n-i}b^i.

S2: Geometrik seri nasıl yazılır?
C2: \displaystyle\sum_{k=0}^n ar^k = a\,\frac{r^{n+1}-1}{r-1}.

S3: Polinomda kaydırma (x\to x+c) ne işe yarar?
C3: Her terim (x+c)^k formuna dönüşür ve yeni katsayılar binom katsayılarıyla belirlenir.

Anlayışınızı pekiştirmek için benzer bir polinom kaydırma problemi çözmek ister misiniz?
@Ecenaz_Akbulut