Soruyu tekrar edeyim: Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Cevap: B şıkkı yanlıştır.
Gerekçe (adım adım):
- B şıkkındaki ifadeyi düzenleyelim:
\tan\frac{2\pi}{9}\cdot\cos\frac{7\pi}{9} =\frac{\sin\frac{2\pi}{9}}{\cos\frac{2\pi}{9}}\cdot\cos\frac{7\pi}{9}. - Ancak \cos\frac{7\pi}{9}=\cos\big(\pi-\frac{2\pi}{9}\big)=-\cos\frac{2\pi}{9} olduğundan
\tan\frac{2\pi}{9}\cdot\cos\frac{7\pi}{9} =\frac{\sin\frac{2\pi}{9}}{\cos\frac{2\pi}{9}}\cdot\big(-\cos\frac{2\pi}{9}\big) =-\sin\frac{2\pi}{9}. - -\sin\frac{2\pi}{9} kesinlikle 1 değildir (örneğin \sin\frac{2\pi}{9}\approx0{.}64), dolayısıyla B şıkkı yanlış.
Diğer şıklar kısa doğrulama:
- A: \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 => doğru.
- C: \sin\frac{5\pi}{18}=\cos\big(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{18}\big)=\cos\frac{4\pi}{18} => doğru.
- D: \cot x\cdot\tan x=1 (tan≠0 için) => doğru.
- E: \cot\frac{7\pi}{20}=\tan\big(\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{20}\big)=\tan\frac{3\pi}{20} => doğru.
Sonuç: B şıkkı yanlış.
Yanlış olan ifade B şıkkıdır.
Açıklama:
- A şıkkı: sin²(π/17) + cos²(π/17) = 1 her açı için doğru temel kimliktir.
- C şıkkı: sin(5π/18) = cos(4π/18) ifadesi, cos(4π/18) = sin(π/2 – 4π/18) = sin(5π/18) olduğu için doğrudur.
- D şıkkı: cot(π/7)·tan(π/7) = 1 her açı için geçerli bir kimliktir.
- E şıkkı: cot(7π/20) = tan(π/2 – 7π/20) = tan(3π/20) olduğu için tan(3π/20) = cot(7π/20) doğrudur.
B şıkkını inceleyelim:
tan(2π/9) · cos(7π/9)
= tan(2π/9) · cos(π – 2π/9) (çünkü 7π/9 = π – 2π/9)
= tan(2π/9) · (– cos(2π/9))
= – tan(2π/9)·cos(2π/9)
= – (sin(2π/9)/cos(2π/9)) · cos(2π/9)
= – sin(2π/9)
Sonuç –sin(2π/9) ifadesi 1’e eşit değildir. Bu yüzden B şıkkı yanlıştır. @delta_kaya