Sürtünmesiz yatay düzlemde 2 kg kütleli K cismi doğu yönünde 6 m/s, 2 kg kütleli L cismi kuzey yönünde 8 m/s hızla hareket ederken çarpışıp birbirine yapışıyor.
Buna göre cisimlerin çarpışmadan sonraki ortak hızının büyüklüğü kaç m/s’dir?
A) 2
B) 4
C) 5
Çarpışıp Birbirine Yapışan Cisimlerin Ortak Hızının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL:
- Momentum: \vec{P} = m \cdot \vec{v}
- Momentumun Korunumu: \vec{P}_{\text{ilk}} = \vec{P}_{\text{son}}
- Vektörel Toplam (Dik Bileşenler): P_{\text{toplam}} = \sqrt{P_x^2 + P_y^2}
- Ortak Hız: \vec{v}_{\text{ort}} = \frac{\vec{P}_{\text{toplam}}}{m_{\text{toplam}}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Cisimlerin Çarpışma Öncesi Momentumlarını Bulma
Doğu (+x) ve Kuzey (+y) yönleri birbirine diktir (90^\circ).
-
K cisminin momenti (Doğu yönünde):
P_K = m_K \cdot v_K = 2\text{ kg} \times 6\text{ m/s} = 12\text{ kg}\cdot\text{m/s} -
L cisminin momenti (Kuzey yönünde):
P_L = m_L \cdot v_L = 2\text{ kg} \times 8\text{ m/s} = 16\text{ kg}\cdot\text{m/s}
Adım 2 — Toplam Momentum Büyüklüğünü Hesaplama
Doğu ve Kuzey eksenleri dik olduğundan, Pisagor bağıntısı (3-4-5 üçgeninin 4 katı) uygulanır:
P_{\text{toplam}} = \sqrt{P_K^2 + P_L^2}
P_{\text{toplam}} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\text{ kg}\cdot\text{m/s}
Adım 3 — Toplam Kütleyi Belirleme
Cisimler çarpışıp birbirine yapıştığı için kütleleri toplanır:
m_{\text{toplam}} = m_K + m_L = 2\text{ kg} + 2\text{ kg} = 4\text{ kg}
Adım 4 — Ortak Hızın Büyüklüğünü Bulma
Toplam momentumu toplam kütleye bölerek ortak hızı elde ederiz:
v_{\text{ort}} = \frac{P_{\text{toplam}}}{m_{\text{toplam}}} = \frac{20\text{ kg}\cdot\text{m/s}}{4\text{ kg}} = 5\text{ m/s}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 5\text{ m/s}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Esnek Olmayan Çarpışma
- Tanım: Çarpışan cisimlerin kenetlenerek tek bir cisim gibi hareket ettiği çarpışma türüdür.
- Bu problemde: K ve L cisimleri yapışarak 4\text{ kg}'lık ortak bir kütle oluşturmuştur.
2. Vektörel Momentum Korunumu
- Tanım: Dış kuvvetlerin etkisi sıfır olan sistemlerde momentum yön ve büyüklük olarak korunur.
- Bu problemde: Doğu ve Kuzey doğrultularındaki momentumlar vektörel toplanarak bileşke momentum hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Skaler Toplama Hatası
- Yanlış: Hızları veya momentumları doğrudan cebirsel toplamak (6 + 8 = 14 veya 12 + 16 = 28).
- Doğru: Doğu ve Kuzey yönleri dik olduğu için Pisagor bağıntısı ile vektörel bileşke almak.
- Neden yanlış: Hız ve momentum vektörel büyüklüklerdir; yön hesaba katılmadan işlem yapılamaz.
Bu sorudaki gibi iki boyutlu momentum korunumu sorularını pekiştirmek için farklı açılarda bir benzer soru daha çözmek ister misin?