Sürtünmesiz ortamda 40 m/s hizla düşey yukarı atılan

Homework Help
1

4qm/s
m =8kg
Sürtünmesiz ortamda 40 m/s hizla düşey yukarı atılan
cisim, atldiktan 3s sonra iç pattama sonucu 3 kg ve 5
kg kütlell cisimlere aynliyor.
3 kg kütlell cismin patlama sonrasında hzi yatay 20
m/s olduğuna göre, 5 kg kütleli cismin hzı kaç m/s
olur?
A) 20
B) 30
C) 40
D) 80
E) 100

Soru Görseli
Soru Görseli854×800 73.4 KB

2

40 m/s hızla düşey yukarı atılan cismin patlama sonrası hızı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  1. Düşey Atış Hız Formülü: v_t = v_0 - g \cdot t
  2. Momentumun Korunumu Yasası: Patlama gibi iç kuvvetlerin etkili olduğu olaylarda dış kuvvet ihmal edildiğinde toplam momentum korunur:
    \vec{P}_{önce} = \vec{P}_{sonra}
    m_{toplam} \cdot \vec{v}_{ortak} = m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Patlama Anındaki Hızın Bulunması
Cisim 40 \text{ m/s} hızla atılıyor ve 3\text{ s} sonra patlıyor. Yerçekimi ivmesini g = 10 \text{ m/s}^2 alırsak, patlama anındaki düşey hızını hesaplayalım:

v_y = 40 - (10 \cdot 3) = 10 \text{ m/s}

Cisim patlamadan hemen önce 8 \text{ kg} kütle ile yukarı yönde 10 \text{ m/s} hızla hareket etmektedir.

Adım 2 — Patlama Öncesi Momentumun Belirlenmesi
Momentum vektörel bir büyüklüktür. Patlama öncesinde sadece düşey (y) ekseninde momentum vardır:

P_{önce, y} = m \cdot v_y = 8 \text{ kg} \cdot 10 \text{ m/s} = 80 \text{ kg}\cdot\text{m/s} \text{ (Yukarı)}
P_{önce, x} = 0

Adım 3 — Patlama Sonrası Momentumun Bileşenlerine Ayrılması
Patlamadan sonra kütleler 3 \text{ kg} ve 5 \text{ kg} olarak ayrılıyor. 3 \text{ kg}'lık parçanın hızı yatayda 20 \text{ m/s} olarak verilmiş.

  • 3 \text{ kg} için: P_{3,x} = 3 \cdot 20 = 60 \text{ kg}\cdot\text{m/s}, P_{3,y} = 0
  • 5 \text{ kg} için: Hız bileşenlerine v_{5,x} ve v_{5,y} diyelim.

Adım 4 — Momentum Korunumunun Uygulanması
Yatay (x) ekseni için: 0 = 60 + 5 \cdot v_{5,x}

5 \cdot v_{5,x} = -60 \implies v_{5,x} = -12 \text{ m/s}

Düşey (y) ekseni için: 80 = 0 + 5 \cdot v_{5,y}

5 \cdot v_{5,y} = 80 \implies v_{5,y} = 16 \text{ m/s}

Adım 5 — 5 kg Kütleli Cismin Bileşke Hızının Hesaplanması
Hızın büyüklüğü, yatay ve düşey bileşenlerin karelerinin toplamının kareköküdür:

v_5 = \sqrt{(v_{5,x})^2 + (v_{5,y})^2}
v_5 = \sqrt{(-12)^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400}
v_5 = 20 \text{ m/s}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 20 m/s (A Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Momentumun Korunumu

  • Tanım: Bir sisteme etki eden net dış kuvvet sıfır ise, sistemin toplam momentumu değişmez.
  • Bu problemde: Patlama bir iç olaydır, bu yüzden patlamadan hemen önceki toplam momentum, patlamadan hemen sonraki parçaların momentumları toplamına eşittir.

2. Vektörel Toplama

  • Tanım: Hız ve momentum vektörel olduğu için işlemler bileşenlerine ayrılarak yapılır.
  • Bu problemde: 3 \text{ kg}'lık parça yatay momentum kazandığı için, 5 \text{ kg}'lık parça bunu dengelemek adına zıt yönde yatay momentum kazanmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Skaler Toplama Yapmak

  • Yanlış: Momentumları yönlerine bakmadan sadece sayılarla toplamak.
  • Doğru: Yatay (x) ve düşey (y) eksenleri ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
  • Neden Yanlış: Hız yönlü bir büyüklüktür; yatay hız düşey momentumu etkilemez.

Bu soruda momentumun hem yatay hem de düşeyde korunduğunu görmek çözümün anahtarıdır. Benzer bir şekilde, patlama anı 4. saniyede olsaydı sonucun nasıl değişeceğini hesaplamamı ister misin?