Sürtünmesi önemsiz eşit bölmeli düzlemde Şekil I deki konumlarından belirtilen yönlerde aynı anda harekete geçen cisimler t süre sonra L de çarpışıyorlar. Çarpışmadan t süre sonraki konumları Şekil - II deki gibi oluyor.
Buna göre, cisimlerin kütleleri \frac{m_{X}}{m_{Y}} oranı kaçtır?
A) \frac{3}{5}
B) \frac{2}{3}
C) 1
D) \frac{5}{3}
E) \frac{3}{2}
İtme ve Çizgisel Momentumun Korunumu
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Sürtünmesiz yatay düzlemde dış bir kuvvet bulunmadığından sistemin toplam çizgisel momentumu korunur:
\vec{P}_{\text{ilk}} = \vec{P}_{\text{son}} \implies m_X \vec{v}_X + m_Y \vec{v}_Y = m_X \vec{v}_X' + m_Y \vec{v}_Y'
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çarpışma Öncesi Hızların Belirlenmesi
Eşit bölmeli düzlemde ardışık her iki çizgi arasındaki mesafeye d diyelim. Cisimler aynı anda harekete geçip t süre sonra L noktasında çarpışmaktadır. Sağa doğru hareketi (+), sola doğru hareketi (-) kabul edelim:
- X cismi 2d kadar sağa ilerleyerek L noktasına vardığı için ilk hızı:
v_X = +\frac{2d}{t} = +2v
- Y cismi 3d kadar sola ilerleyerek L noktasına vardığı için ilk hızı:
v_Y = -\frac{3d}{t} = -3v
Adım 2 — Çarpışma Sonrası Hızların Belirlenmesi
Çarpışmadan t süre sonra cisimlerin L noktasından itibaren ulaştıkları konumlar Şekil-II’de verilmiştir:
- X cismi L noktasından K noktasına gelmiş, yani sola doğru d kadar yer değiştirmiştir:
v_X' = -\frac{d}{t} = -v
- Y cismi L noktasından N noktasına gelmiş, yani sağa doğru 2d kadar yer değiştirmiştir:
v_Y' = +\frac{2d}{t} = +2v
Adım 3 — Momentum Korunumu ile Kütle Oranının Hesaplanması
Çarpışma öncesi ve sonrası toplam momentumları birbirine eşitleyelim:
P_{\text{ilk}} = P_{\text{son}}
m_X \cdot (+2v) + m_Y \cdot (-3v) = m_X \cdot (-v) + m_Y \cdot (+2v)
2 m_X v - 3 m_Y v = -m_X v + 2 m_Y v
Aynı kütleye sahip terimleri eşitliğin iki tarafında toplayalım:
2 m_X v + m_X v = 2 m_Y v + 3 m_Y v
3 m_X v = 5 m_Y v
\frac{m_X}{m_Y} = \frac{5}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) \frac{5}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Momentumun Korunumu: İster esnek ister esnek olmayan çarpışma olsun, sisteme etki eden net dış kuvvet sıfır olduğu sürece toplam momentum vektörel olarak daima korunur.
- Vektörel Yön Mantığı: Hız ve momentum vektörel büyüklüklerdir; seçilen referans yönüne göre zıt yönlü hareketlerin hızları mutlaka negatif (-) işaretle işleme alınmalıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Hızların yönlerini göz ardı edip büyüklükleri doğrudan skaler olarak toplamak (2m_X + 3m_Y = m_X + 2m_Y).- Doğru Yaklaşım: Sağa doğru hareket eden cisimlerin hızını (+), sola doğru hareket eden cisimlerin hızını ise (-) alarak vektörel denklem kurmak.
Bu sorudaki çarpışmanın esnek mi yoksa esnek olmayan bir çarpışma mı olduğunu mekanik enerji kaybını inceleyerek birlikte kontrol etmek ister misin?