Sürtünmelerin ihmal edildiği bir ortamda, yerden h yüksekliğindeki bir noktadan serbest bırakılan m kütleli bir top, yere ilk çarptığında, yere göre mekanik enerjisinin \%20 sini kaybediyor.
Top yerden ikinci kez zıpladığında yere göre mekanik enerjisinin \%25 ini kaybettiğine göre, topun bu anda sahip olduğu kinetik enerjisi, ilk bırakıldığı andaki mekanik enerjisinin kaç katıdır?
(Topun yarıçapı önemsenmeyecek kadar küçüktür.)
A) \frac{16}{25}
B) \frac{3}{5}
C) \frac{1}{2}
D) \frac{2}{5}
E) \frac{1}{5}
Mekanik Enerjinin Korunumu ve Enerji Kaybı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Mekanik Enerji: E_{\text{mek}} = E_k + E_p
- Enerji Değişimi: E_{\text{kalan}} = E_{\text{önceki}} \cdot (1 - \text{Kayıp Oranı})
- Yer seviyesinde potansiyel enerji sıfır kabul edildiğinde (h = 0): E_{\text{mek}} = E_k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İlk Mekanik Enerjinin Belirlenmesi
Top h yüksekliğinden serbest bırakıldığı için başlangıçta yalnızca potansiyel enerjiye sahiptir. Bu andaki mekanik enerjiyi E_0 olarak tanımlayalım:
E_0 = mgh
Adım 2 — Birinci Çarpışma Sonrasındaki Enerji
Sürtünmeler ihmal edildiğinden top yere ulaşana kadar enerji kaybı yaşanmaz. Yere ilk çarptığında mekanik enerjisinin \%20’sini kaybettiği için geriye enerjisinin \%80’i kalır:
E_1 = E_0 \cdot \left(1 - \frac{20}{100}\right) = E_0 \cdot \frac{80}{100} = \frac{4}{5}E_0
Adım 3 — İkinci Çarpışma Sonrasındaki Kinetik Enerji
Top tekrar yükselip yere ikinci kez çarptığında sahip olduğu mekanik enerji E_1’dir. İkinci zıplama sırasında o anki mekanik enerjisinin \%25’ini kaybettiği belirtilmiştir:
E_2 = E_1 \cdot \left(1 - \frac{25}{100}\right) = E_1 \cdot \frac{75}{100} = E_1 \cdot \frac{3}{4}
E_1 değerini yerine yazarsak:
E_2 = \left(\frac{4}{5}E_0\right) \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5}E_0
Top yer seviyesinden zıpladığı anda potansiyel enerjisi sıfır (E_p = 0) olduğu için toplam mekanik enerjisi tamamen kinetik enerjiye eşittir:
E_k = E_2 = \frac{3}{5}E_0
Bu durumda sahip olduğu kinetik enerji, ilk bırakıldığı andaki mekanik enerjisinin \frac{3}{5} katıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \frac{3}{5}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Mekanik Enerji: Kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamıdır. Sürtünmesiz ortamda hava direnci yokken korunur; ancak esnek olmayan çarpışmalarda bir kısmı ısı, ses veya deformasyon enerjisine dönüşür.
- Referans Noktası (Yer): Zemin referans alındığında zıplama anında yükseklik ihmal edildiği için mekanik enerjinin tamamı kinetik enerji formundadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: İkinci çarpışmadaki \%25’lik kaybı da başlangıçtaki E_0 enerjisi üzerinden çıkarıp (\%100 - \%20 - \%25 = \%55) hesaplamak.- Doğru Yaklaşım: Çarpışmalardaki enerji kayıpları aksi belirtilmedikçe çarpışma anında topun sahip olduğu güncel enerji üzerinden hesaplanır.
Bu soruyla ilişkili olarak, topun ikinci zıplayışında çıkabileceği maksimum yüksekliğin h cinsinden değerini bulmak ister misin?