n x
-1
4.
22
stc eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdaklerden
arccosx = arc\sin(3x - 1) =
hangisidig
A
3
B) C)
5
sina = x-4 =
E) 2
Diğer saytaya geçiniz.
Ters Trigonometrik Denklem Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \arccos(u) = \alpha \iff \cos(\alpha) = u \quad (\alpha \in [0, \pi])
- \arcsin(v) = \alpha \iff \sin(\alpha) = v \quad \left(\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right)
- \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişken Tanımlama
Verilen eşitliğe bir açı değeri (\alpha) atayalım:
\arccos(x) = \arcsin(3x - 1) = \alpha
Bu durumda ters trigonometrik fonksiyonların tanımı gereği:
\cos(\alpha) = x
\sin(\alpha) = 3x - 1
Adım 2 — Temel Trigonometrik Özdeşliği Uygulama
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 özdeşliğinde değerleri yerine yazalım:
(3x - 1)^2 + x^2 = 1
(9x^2 - 6x + 1) + x^2 = 1
10x^2 - 6x = 0
Adım 3 — Kökleri Bulma ve Ortak Paranteze Alma
İfadeyi 2x parantezine alarak çarpanlarına ayıralım:
2x(5x - 3) = 0
Buradan iki olası değer elde edilir:
x = 0 \quad \text{veya} \quad x = \frac{3}{5}
Adım 4 — Köklerin Sağlaması ve Tanım Aralığı Kontrolü
-
x = 0 için:
\arccos(0) = \frac{\pi}{2}\arcsin(3\cdot 0 - 1) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}\frac{\pi}{2} \neq -\frac{\pi}{2} olduğundan x = 0 eşitliği sağlamaz.
-
x = \frac{3}{5} için:
\cos(\alpha) = \frac{3}{5} > 0 \quad \text{ve} \quad \sin(\alpha) = 3\left(\frac{3}{5}\right) - 1 = \frac{4}{5} > 0Her iki değer de pozitif olduğundan \alpha açısı 1. bölgededir ve eşitlik doğrulanır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \dfrac{3}{5}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ters Trigonometrik Fonksiyonların Değer Kümeleri: \arccos fonksiyonunun değer aralığı [0, \pi], \arcsin fonksiyonunun değer aralığı ise \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] aralığıdır. Her iki fonksiyonun ortak kesişim aralığı \left[0, \frac{\pi}{2}\right] (1. bölge) olduğundan hem \sin(\alpha) hem de \cos(\alpha) pozitif olmak zorundadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 10x^2 - 6x = 0 denkleminden çıkan x = 0 ve x = \frac{3}{5} köklerinin her ikisini de kontrol etmeden doğrudan çözüm kümesine dahil etmek.- Doğru Yaklaşım: Karesel denklemlerden yalancı (yabancı) kök gelebileceği için bulunan kökleri mutlaka orijinal ters trigonometrik eşitlikte yerine koyup açı aralıklarını test etmek.
Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?